Для упрощения задачи мы будем в дальнейшем предполагать, что система обладает только двумя степенями свободы. Уравнения, которые нужно проинтегрировать, имеют вид:
\[
\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \quad \frac{d q_{2}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \quad \frac{d p_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \quad \frac{d p_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{2}},
\]

где функция $H$ может быть разложена в бесконечный ряд, расположенный по степеням величин $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$ и по тригонометрическим функциям от углов, кратных $p_{1}$ и $p_{2}$. Каждый член этого ряда имеет вид:
\[
q_{1}^{\frac{1}{2} m} q_{2}^{\frac{1}{2} n} \cos \left(i p_{1}+j p_{2}\right),
\]

где целые числа $m$ и $n$ могут принимать положительные или нулевые значения, а целые числа $i$ и $j$ могут принимать нулевые положительные и отрицательные значения. Кроме того, если ( $m+n$ ) назвать «порядком» члена, то член наинизшего порядка не содержит величин $p_{1}$ и $p_{2}$ и является линейной функцией от $q_{1}$ и $q_{2}$. Этот член имеет, следовательно, вид $s_{1} q_{1}+s_{2} q_{2}$, где $s_{1}$ и $s_{2}$ – постоянные. Далее, $m-|i|$ есть нуль или четное число и $n-|j|$ есть также нуль или четное число.
Таким образом, функция $H$ может быть написана в виде:
\[
H=s_{1} q_{1}+s_{2} q_{2}+H_{3}+H_{4}+H_{5}+\ldots,
\]

где $H_{r}$ означает совокупность членов $r$-го порядка. В частности,
\[
\begin{aligned}
H_{3} & =q_{1}^{\frac{3}{2}}\left(U_{1} \cos p_{1}+U_{2} \cos 3 p_{1}\right)+q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{U_{3} \cos p_{2}+U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)+\right. \\
& \left.+U_{5} \cos \left(2 p_{1}-p_{2}\right)\right\}+q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}\left\{U_{6} \cos p_{1}+U_{7} \cos \left(2 p_{2}+p_{1}\right)+\right. \\
& \left.+U_{8} \cos \left(2 p_{2}-p_{1}\right)\right\}+q_{2}^{\frac{3}{2}}\left\{U_{9} \cos p_{2}+U_{10} \cos 3 p_{2}\right\}
\end{aligned}
\]

и
\[
\begin{aligned}
H_{4} & =q_{1}^{2}\left(X_{1}+X_{2} \cos 2 p_{1}+X_{3} \cos 4 p_{1}\right)+ \\
& +q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{X_{4} \cos \left(p_{1}+p_{2}\right)+X_{5} \cos \left(p_{1}-p_{2}\right)+X_{6} \cos \left(3 p_{1}+p_{2}\right)+\right. \\
& \left.+X_{7} \cos \left(3 p_{1}-p_{2}\right)\right\}+q_{1} q_{2}\left\{X_{8}+X_{9} \cos 2 p_{1}+X_{10} \cos 2 p_{2}+\right. \\
& \left.+X_{11} \cos \left(2 p_{1}+2 p_{2}\right)+X_{12} \cos \left(2 p_{1}-2 p_{2}\right)\right\}+ \\
& +q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}^{\frac{3}{2}}\left\{X_{13} \cos \left(p_{1}+p_{2}\right)+X_{14} \cos \left(p_{1}-p_{2}\right)+X_{15} \cos \left(p_{1}+3 p_{2}\right)+\right. \\
& \left.+X_{16} \cos \left(p_{1}-3 p_{2}\right)\right\}+q_{2}^{2}\left\{X_{17}+X_{18} \cos 2 p_{2}+X_{19} \cos 4 p_{2}\right\},
\end{aligned}
\]

где $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{10}, X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{19}$ – постоянные.

Нам известен один интеграл уравнений (1), а именно интеграл энергии:
\[
H\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=\text { const, }
\]

и мы знаем ( $\S 121$ ), что если нам удастся найти еще один интеграл, то систему можно будет полностью проинтегрировать.

В 1916 г. автор показал ${ }^{1}$, что этот второй интеграл действительно может быть найден, но что он не может быть выражен одинаковым аналитическим выражением для всех значений отношения $\frac{s_{1}}{s_{2}}$. Здесь приходится различать три случая:
Случай 1. Отношение $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ есть число иррациональное.
Случай 2. Отношение $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ есть рациональное число $\frac{m}{n}$ (где $m$ и $n-$ целье числа и дробь $\frac{m}{n}$ несоюратима), и $H_{3}$ не содержит членов с $\cos \left(n p_{1}-m p_{2}\right)$.

Случай 3. Отношение $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ есть рациональное число $\frac{m}{n}$, и $H_{3}$ содержит члены с $\cos \left(n p_{1}-m p_{2}\right)$.

Интеграл, который мы ищем (и который мы назовем родственным интегралом по причине, которая выяснится ниже), всегда существует, но его аналитическое выражение различно во всех трех случаях. Когда отношение $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ изменяется непрерывно, вид этого интеграла изменяется непрерывно всякий раз, когда это отношение переходит от рациональных значений к иррациональным, или наоборот. Это обстоятельство лежит в основе известной теоремы Пуанкаре, что ряды, употребляемые в небесной механике, если они вообще сходятся, не могут сходиться равномерно для всех значений времени и не могут сходиться при всех значениях постоянных, заключенных в определенных пределах.

Мы переходим теперь к определению родственного интеграла в каждом из этих трех случаев в отдельности.