Одной из важнейших задач динамики системы с тремя степенями свободы является определение движения твердого тела, имеющего закрепленную точку $O$ и на которое не действуют никакие внешние силы ${ }^{1}$. $К$ этой задаче приводится, например, определение движения твердого тела вокруг своего центра тяжести, когда все силы, действующие на тело, приводятся к одной результирующей, проходящей через центр тяжести.

В такой системе момент количества движения относительно любой неподвижной прямой, проходящей через точку опоры, остается постоянным (§40). Отсюда следует, что прямая, относительно которой момент количества движения имеет наибольшее значение, не изменяет своего направления в пространстве. Эту так называемую неизменяемую пря.мую мы примем за ось $O Z$. За оси $O X$ и $O Y$ мы примем две какиенибудь другие прямые, выходящие из точки опоры и образующие вместе с $O Z$ прямоугольный триэдр. Моменты количества движения относительно осей $O X$ и $O Y$ равны нулю; ибо в противном случае результирующей моментов количества движения относительно осей $O X, O Y$
${ }^{1}$ Euler, Memoires de Berlin, 1758. Эллиптические функции к решению задачи впервые применил Руэб (Rueb, Specimen inaugural. Utrecht, 1834); решение дополнено Якоби (Journal f. Math., т. 39, стр. 293, 1849).

и $O Z$ соответствовала бы прямая, относительно которой момент количества движения был бы больше момента, взятого по отношению к $O Z$, что противоречит условию. Отсюда согласно $\S 39$ момент количества движения относительно произвольной прямой, выходящей из $O$ и образующей с $O Z$ угол $\vartheta$, равен $d \cos \vartheta$, если $d$ означает момент количества движения относительно $O Z$.

Положение твердого тела будет известно для всякого момента времени $t$, если будут известны мгновенные положения трех главных осей инерции, соответствующих точке $O$. Эти три оси мы примем за оси подвижной системы координат $O x y z$, движущейся вместе с телом. Обозначим через $\vartheta, \varphi, \psi$ углы Эйлера, определяющие положение осей $O x y z$ по отношению к осям $O X Y Z$. Через $A, B$ и $C$ обозначим главные моменты инерции тела относительно $O$, причем $A>B>C$. И, наконец, обозначим через $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ угловые скорости системы относительно осей $O x, O y$ и $O z$. Тогда согласно $\S 10$ и $\S 62$ будут иметь место следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
A \omega_{1}=-d \sin \vartheta \cos \psi, \\
B \omega_{2}=d \sin \vartheta \cos \psi, \\
C \omega_{3}=d \cos \vartheta
\end{array}
\]

или (§ 16$)$ :
\[
\begin{aligned}
\dot{\vartheta} \sin \psi-\dot{\varphi} \sin \vartheta \cos \psi & =-\frac{d}{A} \sin \vartheta \cos \psi, \\
\dot{\vartheta} \cos \psi+\dot{\varphi} \sin \vartheta \sin \psi & =\frac{d}{B} \sin \vartheta \sin \psi, \\
\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta & =\frac{d}{C} \cos \vartheta
\end{aligned}
\]

Этими тремя уравнениями определяются три интеграла уравнений движения системы. Они содержат только одну произвольную постоянную $d$, так как вследствие специального выбора системы координат обе другие постоянные интегрирования обращаются в нуль. Полученными уравнениями мы воспользуемся вместо уравнений Лагранжа для определения $\vartheta, \varphi$ и $\psi$.
Разрешая эти уравнения относительно $\dot{\vartheta}, \dot{\varphi}$ и $\dot{\psi}$, получим:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\vartheta}=\frac{(A-B) d}{A B} \sin \vartheta \cos \psi \sin \psi, \\
\dot{\varphi}=\frac{d}{A} \cos ^{2} \psi+\frac{d}{B} \sin ^{2} \psi, \\
\dot{\psi}=\left(\frac{d}{C}-\frac{d}{A} \cos ^{2} \psi-\frac{d}{B} \sin ^{2} \psi\right) \cos \vartheta
\end{array}
\]

На основании § 63 интеграл энергии (являющийся следствием этих трех уравнений) может быть написан сразу. Он имеет вид:
\[
A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}=c,
\]

где $c$ – постоянная. Заменяя в нем величины $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ их выражениями через $\vartheta$ и $\psi$, мы его можем представить либо в виде:
\[
\frac{A-B}{A B} \sin ^{2} \vartheta \cos ^{2} \psi=-\frac{B c-d^{2}}{B d^{2}}+\frac{B-C}{B C} \cos ^{2} \vartheta,
\]

либо в виде:
\[
\frac{A-B}{A B} \sin ^{2} \vartheta \sin ^{2} \psi=\frac{A c-d^{2}}{A d^{2}}-\frac{A-C}{A C} \cos ^{2} \vartheta .
\]

Так как $A>B>C$, то величина $c A-d^{2}=B(A-B) \omega_{2}^{2}+C(A-C) \omega_{3}^{2}$ будет положительной, а $c C-d^{2}$ – отрицательной. Величина $B c-d^{2}$ может быть как положительной, так и отрицательной; мы будем предполагать, что она положительна.

При помощи последних равенств первое из трех дифференциальных уравнений может быть написано следующим образом:
\[
\frac{d}{d t}(\cos \vartheta)=-d\left\{-\frac{B c-d^{2}}{B d^{2}}+\frac{B-C}{B C} \cos ^{2} \vartheta\right\}^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{A c-d^{2}}{A d^{2}}-\frac{A-C}{A C} \cos ^{2} \vartheta\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]

Этим уравнением $\cos \vartheta$ определяется как одна из якобиевых эллиптических функций ${ }^{1}$ от некоторой линейной функции от $t$. Оба предыдущих уравнения показывают, что $\sin \vartheta \cos \psi$ и $\sin \vartheta \sin \psi$ являются двумя другими функциями Якоби.
Поэтому полагаем:
\[
\sin \vartheta \cos \psi=P \operatorname{cn} u, \quad \sin \vartheta \sin \psi=Q \operatorname{sn} u, \quad \cos \vartheta=R \operatorname{dn} u,
\]

где $P, Q, R$ – постоянные, а $u$ – некоторая линейная функция от $t$, т. е. $u=\lambda t+\varepsilon$. Величины $P, Q, R, \lambda$ и модуль $k$ эллиптических функций должны быть выбраны таким образом, чтобы предыдущие уравнения совпадали со следующими:
\[
\begin{array}{l}
k^{2} \operatorname{cn}^{2} u=-k^{2}+\operatorname{dn}^{2} u, \\
k^{2} \operatorname{sn}^{2} u=1-\operatorname{dn}^{2} u, \\
\frac{d}{d u} \operatorname{dn} u=-k^{2} \operatorname{sn} u \operatorname{cn} u .
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Относительно теории эллиптических функций см. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, гл. 20-22.

Сравнения коэффициентов дает:
\[
\begin{array}{c}
P^{2}=\frac{A\left(d^{2}-c C\right)}{d^{2}(A-C)}, \quad Q^{2}=\frac{B\left(d^{2}-c C\right)}{d^{2}(B-C)}, \quad R^{2}=\frac{C\left(c A-d^{2}\right)}{d^{2}(A-C)}, \\
k^{2}=\frac{(A-B)\left(d^{2}-c C\right)}{(B-C)\left(A c-d^{2}\right)}, \quad \lambda^{2}=\frac{(B-C)\left(c A-d^{2}\right)}{A B C} .
\end{array}
\]

Уравнение для $k^{2}$ показывает, что $k$-вещественно, а уравнения
\[
1-k^{2}=\frac{(A-C)\left(B c-d^{2}\right)}{(B-C)\left(A c-d^{2}\right)},
\]

что $1-k^{2}>0$, т. е. $k<1$. Очевидно, что величины $P, Q, R$ и $\lambda$ будут также вещественны.

Определим теперь вещественную величину $a$ из одновременно выполняющихся уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{sn} i a=\left\{\frac{C\left(A c-d^{2}\right)}{A\left(d^{2}-c C\right)}\right\}^{\frac{1}{2}}, \quad \operatorname{cn} i a=\left\{\frac{d^{2}(A-C)}{A\left(d^{2}-c C\right)}\right\}^{\frac{1}{2}}, \\
\operatorname{dn} i a=\left\{\frac{B(A-C)}{A(B-C)}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\end{array}
\]

Так как
\[
k^{\prime-\frac{1}{2}} \operatorname{dn} i a=\frac{\vartheta_{00}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{i a}{2 K}\right)},
\]

где $\vartheta$-функции определяются разложениями:
\[
\begin{array}{l}
\vartheta_{00}(
u)=1+2 q \cos 2 \pi
u+2 q^{4} \cos 4 \pi
u+2 q^{9} \cos 6 \pi
u+\cdots, \\
\vartheta_{01}(
u)=1-2 q \cos 2 \pi
u+2 q^{4} \cos 4 \pi
u-2 q^{9} \cos 6 \pi
u+\cdots \text {, } \\
\vartheta_{10}(
u)=2 q^{\frac{1}{4}} \cos \pi
u+2 q^{\frac{9}{4}} \cos 3 \pi
u+2 q^{\frac{25}{4}} \cos 5 \pi
u+\cdots, \\
\vartheta_{11}(
u)=2 q^{\frac{1}{4}} \sin \pi
u-2 q^{\frac{9}{4}} \sin 3 \pi
u+2 q^{\frac{25}{4}} \sin 5 \pi
u+\cdots \\
\end{array}
\]

и $q=e^{-\frac{\pi K^{\prime}}{K}}$ то имеем:
\[
\frac{1+2 q \operatorname{ch} 2 \gamma+2 q^{4} \operatorname{ch} 4 \gamma+\cdots}{1-2 q \operatorname{ch} 2 \gamma+2 q^{4} \operatorname{ch} 4 \gamma+\cdots}=\left(K^{\prime}\right)^{-\frac{1}{2}}\left\{\frac{B(A-C)}{A(B-C)}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

где $\gamma=\frac{\pi a}{2 K}$. Из этого уравнения $\gamma$ (а следовательно, и $a$ ) может быть вычислена последовательными приближениями.

Эйлеровы углы $\vartheta, \psi$ для момента времени $t$ определятся теперь уравнениями:
\[
\begin{aligned}
\sin \vartheta \cos \psi & =\frac{\operatorname{cn}(\lambda t+\varepsilon)}{\operatorname{cn} i a}, \\
\sin \vartheta \sin \psi & =\frac{\operatorname{dn} i a \operatorname{sn}(\lambda t+\varepsilon)}{\operatorname{cn} i a}, \\
\cos \vartheta & =\frac{\operatorname{sn} i a \operatorname{dn}(\lambda t+\varepsilon)}{i \operatorname{cn} i a}
\end{aligned}
\]

или (опуская $\varepsilon$ ):
\[
\begin{aligned}
\sin \vartheta \cos \psi & =\frac{\vartheta_{01}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{10}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)}{\vartheta_{10}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)}, \\
\sin \vartheta \sin \psi & =\frac{\vartheta_{00}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{11}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)}{\vartheta_{10}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)}, \\
\cos \vartheta & =\frac{\vartheta_{11}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{00}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)}{\vartheta_{10}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)} .
\end{aligned}
\]

Модуль $k$ эллиптических функций известен. Поэтому параметр $q$ $\vartheta$-функций может быть определен уравнением:
\[
q=\frac{k^{2}}{16}+\frac{k^{4}}{32}+\frac{21 k^{6}}{1024}+\cdots
\]

или быстрее сходящимся рядом:
\[
q=\frac{1}{2} \operatorname{tg}^{2} \beta+\frac{1}{16} \operatorname{tg}^{10} \beta+\frac{15}{512} \operatorname{tg}^{18} \beta+\cdots,
\]

где $\cos \beta=k^{\prime \frac{1}{2}}$. Величина $K$ может быть вычислена из ряда:
\[
\left(\frac{2 K}{\pi}\right)^{\frac{1}{2}}=\vartheta_{00}=1+2 q+2 q^{4}+2 q^{9}+\cdots
\]

Таким образом, период $\frac{4 K}{\lambda}$ наклона осей $O x y z$ относительно прямой $O Z$ определен.
Полагая теперь $\frac{\pi a}{2 K}=\gamma$ и $\frac{\pi \lambda}{2 K}=\mu$, будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\sin \vartheta \cos \psi & =\frac{\left(1-2 q \operatorname{ch} 2 \gamma+2 q^{4} \operatorname{ch} 4 \gamma-\cdots\right)\left(\cos \mu t+q^{2} \cos 3 \mu t+\cdots\right)}{\left(\operatorname{ch} \gamma+q^{2} \operatorname{ch} 3 \gamma+\cdots\right)\left(1-2 q \cos 2 \mu t+2 q^{4} \cos 4 \mu t+\cdots\right)}, \\
\sin \vartheta \sin \psi & =\frac{\left(1+2 q \operatorname{ch} 2 \gamma+2 q^{4} \operatorname{ch} 4 \gamma+\cdots\right)\left(\sin \mu t-q^{2} \sin 3 \mu t+\cdots\right)}{\left(\operatorname{ch} \gamma+q^{2} \operatorname{ch} 3 \gamma+\cdots\right)\left(1-2 q \cos 2 \mu t+2 q^{4} \cos 4 \mu t+\cdots\right)}, \\
\cos \vartheta & =\frac{\left(\operatorname{sh} \gamma-q^{2} \operatorname{sh} 3 \gamma+\cdots\right)\left(1+2 q \cos 2 \mu t+2 q^{4} \cos 4 \mu t+\cdots\right)}{\left(\operatorname{ch} \gamma+q^{2} \operatorname{ch} 3 \gamma+\cdots\right)\left(1-2 q \cos 2 \mu t+2 q^{4} \cos 4 \mu t+\cdots\right)} .
\end{aligned}
\]

Величины $q, \mu$ и $\gamma$ могут быть рассматриваемы как постоянные, характеризующие движение.
ЗАДАчА. Тело является однородным эллипсоидом, плотность которого равна единице, с полуосями:
\[
a=1, \quad b=2, \quad c=3 .
\]

Три главных момента инерции суть:
\[
A=\frac{4}{15} \pi a b c\left(b^{2}+c^{2}\right)=20,8 \pi, \quad B=16 \pi, \quad C=8 \pi .
\]

Пусть начальные угловые скорости будут:
\[
\omega_{1}=\frac{1}{4}, \quad \omega_{2}=\frac{1}{2}, \quad \omega_{3}=1 .
\]

Тогда постоянной энергии будет:
\[
c=A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}=13,3 \pi,
\]

а постоянная момента количества движения определится равенством:
\[
d^{2}=A^{2} \omega_{1}^{2}+B^{2} \omega_{2}^{2}+C^{2} \omega_{3}^{2}=155,04 \pi^{2},
\]

так что
\[
d=12,452 \pi, A c-d^{2}=121,60 \pi^{2}, B c-d^{2}=57,76 \pi^{2}, d^{2}-c C=48,64 \pi^{2} .
\]

Модуль эллиптических функций определяется равенством:
\[
k^{2}=\frac{(A-B)\left(d^{2}-c C\right)}{(B-C)\left(A c-d^{2}\right)}=0,240 .
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{c}
k^{\prime 2}=1-k^{2}=0,760, \\
q=\frac{1}{2} \frac{1-k^{\prime \frac{1}{2}}}{1+k^{\prime \frac{1}{2}}}+2\left\{\frac{1}{2} \frac{1-k^{\frac{1}{2}}}{1+k^{\frac{1}{2}}}\right\}^{5}+\cdots=0,0171, \\
\left(\frac{2 K}{\pi}\right)^{\frac{1}{2}}=1+2 q+2 q^{4}+2 q^{9}+\cdots=1,0342,
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\begin{aligned}
K & =1,68013, \\
K^{\prime} & =-\frac{K}{\pi} \ln q=2,176 .
\end{aligned}
\]

Далее,
\[
\lambda^{2}=\frac{(B-C)\left(A c-d^{2}\right)}{A B C}=0,3654,
\]

следовательно,
\[
\lambda=0,6045
\]

и
\[
\mu=\frac{\pi \lambda}{2 K}=0,5651 .
\]

Период углов $\vartheta$ и $\psi$ есть $\frac{4 K}{\lambda}=\frac{2 \pi}{\mu}=11,118$.
Для разложения $\vartheta$ и $\psi$ в тригонометрические ряды нам необходимо определить $\gamma$. Для этой цели воспользуемся соотношением:
\[
\frac{B(A-C)}{A(B-C)}=1,2308,
\]
T. e.
\[
\left\{\frac{B(A-C)}{A(B-C)}\right\}^{\frac{1}{2}}=1,1094 .
\]

И поэтому, пренебрегая $q^{4}$, будем иметь:
\[
\frac{1+2 q \operatorname{ch} 2 \gamma}{1-2 q \operatorname{ch} 2 \gamma}=\frac{1,1094}{0,9337} .
\]

Отсюда следует:
\[
\begin{aligned}
\operatorname{ch} 2 \gamma & =2,503, \\
2 \gamma & =1,568, \\
\gamma & =0,784 .
\end{aligned}
\]

Величина $a$ определится теперь из равенства:
\[
a=\frac{2 K}{\pi} \gamma=0,8385 .
\]

Для предельного случая $A=B$ модуль $k$ делается равным нулю. Эллиптические функции переходят, следовательно, в круговые, и решение может быть написано следующим образом:
\[
\sin \vartheta \cos \psi=\frac{\cos \lambda t}{\operatorname{ch} a}, \quad \sin \vartheta \sin \psi=\frac{\sin \lambda t}{\operatorname{ch} a}, \quad \cos \vartheta=\operatorname{th} a,
\]

где
\[
\lambda=\left\{\frac{(A-C)\left(A c-d^{2}\right)}{A^{2} C}\right\}^{\frac{1}{2}}, \operatorname{sh} a=\left\{\frac{C\left(A c-d^{2}\right)}{A\left(d^{2}-c C\right)}\right\}^{\frac{1}{2}}, \operatorname{ch} a=\left\{\frac{d^{2}(A-C)}{A\left(d^{2}-c C\right)}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]

Движение, следовательно, складывается из равномерной прецессии относительно неизменяемой прямой $O Z$ и вращения тела вокруг собственной оси симметрии $O z$.

Другой предельный случай представится тогда, когда $d^{2}=c B$ и, следовательно, $k^{2}=1$. В этом случае эллиптические функции переходят в гиперболические. Это иллюстрируется следующими примерами.

Задача 1. Твердое тело движется по инерции вокруг неподвижной точки. Показать, что если $d^{2}=B c$ и при $t=0 \omega_{1}$ и $\omega_{3}$ положительны, а $\omega_{2}=0$, то для всякого значения времени $t$ направляющие косинусы оси $B$ относительно первоначального направления главных осей равны соответственно:
\[
\alpha \operatorname{th} \chi-\frac{\gamma \sin \mu}{\operatorname{ch} \chi}, \frac{\cos \mu}{\operatorname{ch} \chi}, \quad \gamma \operatorname{th} \chi+\frac{\alpha \sin \mu}{\operatorname{ch} \chi},
\]

где
\[
\mu=\frac{d t}{B}, \chi=\frac{d t}{B}\left\{\frac{(A-B)(B-C)}{A C}\right\}^{\frac{1}{2}}, \alpha=\left\{\frac{A(B-C)}{B(A-C)}\right\}^{\frac{1}{2}}, \gamma=\left\{\frac{C(A-B)}{B(A-C)}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]

Для доказательства заметим, что при $B c=d^{2}$ координата $\vartheta$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{\cos \vartheta}\right)=d\left(\frac{B-C}{B C}\right)^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{A c-d^{2}}{A d^{2}} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \vartheta}-\frac{A-C}{A C}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

допускающему интеграл
\[
\cos \vartheta=\frac{\gamma}{\operatorname{ch} \chi},
\]

где $\gamma$ и $\chi$ имеют вышеопределенные значения. Уравнение
\[
\frac{A-B}{A B} \sin ^{2} \vartheta \sin ^{2} \psi=\frac{A c-d^{2}}{A d^{2}}-\frac{A-C}{A C} \cos ^{2} \vartheta
\]

дает тогда:
\[
\sin \vartheta \sin \psi=\operatorname{th} \chi
\]

и уравнение
\[
\dot{\varphi}=\frac{d}{A} \cos ^{2} \psi+\frac{d}{B} \sin ^{2} \psi
\]

дает:
\[
\sin (\varphi-\mu)=-\gamma \sin \psi .
\]

Эти уравнения показывают, что направляющие косинусы оси $B$ относительно осей $O X Y Z$, т. е. (§10) величины:
\[
-\cos \varphi \cos \vartheta \sin \psi-\sin \varphi \cos \psi, \quad-\sin \varphi \cos \vartheta \sin \psi+\cos \varphi \cos \psi, \quad \sin \vartheta \sin \psi
\]

равны соответственно:
\[
-\frac{\sin \mu}{\operatorname{ch} \chi}, \frac{\cos \mu}{\operatorname{ch} \chi}, \quad \operatorname{th} \chi
\]

Пусть $\omega_{10}, \omega_{20}, \omega_{30}$ означают первоначальные направления главных осей. Так как
\[
A^{2} \omega_{1}^{2}+C^{2} \omega_{3}^{2}=d^{2}=B c=B\left(A \omega_{1}^{2}+C \omega_{3}^{2}\right)
\]

и, следовательно,
\[
A \omega_{1}=\alpha d, \quad C \omega_{3}=\gamma d,
\]

то для направляющих косинусов направлений $\omega_{10}, \omega_{20}, \omega_{30}$ относительно $O X Y Z$ имеет место следующая схема:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline & $X$ & $Y$ & $Z$ \\
\hline$\omega_{10}$ & $\gamma$ & 0 & $\alpha$ \\
\hline$\omega_{20}$ & 0 & 1 & 0 \\
\hline$\omega_{30}$ & $-\alpha$ & 0 & $\gamma$ \\
\hline
\end{tabular}

Поэтому направляющие косинусы оси $B$ относительно $\omega_{10}, \omega_{20}, \omega_{30}$ равны:
\[
-\frac{\gamma \sin \mu}{\operatorname{ch} \chi}+\alpha \operatorname{th} \chi, \quad \frac{\cos \mu}{\operatorname{ch} \chi}, \frac{\alpha \sin \mu}{\operatorname{ch} \chi}+\gamma \operatorname{th} \chi .
\]

ЗАдАчА 2. Показать, что при $d^{2}=B C$ ось $O y$ описывает на шаре, с центром в закрепленной точке, локсодрому относительно меридиана, проходящего через неизменяемую прямую.

Возвращаясь снова к общему случаю, дадим выражение третьего угла Эйлера $\varphi$ как функции от времени. Имеем:
\[
\dot{\varphi}=\frac{d}{A}+d\left(\frac{1}{B}-\frac{1}{A}\right) \sin ^{2} \psi .
\]

Ho
\[
\operatorname{ctg} \psi=\frac{\operatorname{cn} \lambda t}{\operatorname{dn} i a \operatorname{sn} \lambda t},
\]

откуда следует:
\[
\sin ^{2} \psi=\frac{\mathrm{dn}^{2} i a \operatorname{sn}^{2} \lambda t}{1-k^{2} \operatorname{sn}^{2} i a \operatorname{sn}^{2} \lambda t} .
\]

Эта функция обращается в нуль при $t=0$ и имеет полюсы при нулевых значениях знаменателя, т. е. в точках, для которых
\[
\operatorname{sn} \lambda t= \pm \frac{1}{k \operatorname{sn} i a}= \pm \operatorname{sn}\left(i a \pm i K^{\prime}\right) .
\]

Поэтому в параллелограмме периодов $\left(2 K, 2 i K^{\prime}\right)$ эта функция имеет полюсы в точках
\[
\lambda t=i a+i K^{\prime} \quad \text { и } \quad \lambda t=-i a+i K^{\prime} .
\]

В окрестности первого полюса имеем $\lambda t=i a+i K^{\prime}+\varepsilon$ и, пренебрегая высшими степенями $\varepsilon$, имеем:
\[
\sin ^{2} \psi=\frac{\frac{\operatorname{dn}^{2} i a}{k^{2} \operatorname{sn}^{2} i a}}{1-\left\{\frac{\operatorname{sn}^{2} i a}{\operatorname{sn}^{2}(i a+\varepsilon)}\right\}}=\frac{\operatorname{dn}^{2} i a}{k^{2} \operatorname{sn}^{2} i a+2 \varepsilon k^{2} \operatorname{sn} i a \operatorname{cn} i a \operatorname{dn} i a-k^{2} \operatorname{sn}^{2} i a} .
\]

Отсюда вычет функции $d\left(\frac{1}{B}-\frac{1}{A}\right) \sin ^{2} \psi$ (рассматриваемой как функция от $\lambda t$ ) для этого полюса равен:
\[
\frac{1}{2 i}\left\{\frac{(B-C)\left(A c-d^{2}\right)}{A B C}\right\}^{\frac{1}{2}} \text { или } \frac{\lambda}{2 i} .
\]

Поэтому, если рассматривать как переменную $\frac{\lambda t}{2 K}$, то вычет равен $\frac{-i \lambda}{4 K}$. Так как теперь для нашей функции известны нули, полюсы и вычеты, то мы ее можем представить как сумму логарифмических производных $\vartheta$-функций. А именно, так как $\vartheta_{01}(v)$ имеет простой нуль, при $v=\frac{1}{2} \omega=\frac{i K^{\prime}}{2 K}$, то
\[
\dot{\varphi}=\frac{d}{A}-\frac{i \lambda}{4 K}\left\{\frac{\vartheta_{01}^{\prime}\left(\frac{\lambda t-i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t-i a}{2 K}\right)}-\frac{\vartheta_{01}^{\prime}\left(\frac{\lambda t+i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t+i a}{2 K}\right)}+2 \frac{\vartheta_{01}^{\prime}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}\right\}
\]

и поэтому
\[
e^{2 i \varphi}=\mathrm{const} \frac{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t-i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t+i a}{2 K}\right)} \cdot e^{\left\{\frac{2 i d}{A}+\frac{\lambda}{K} \frac{\vartheta_{01}^{\prime}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}\right\} t} .
\]

Но величина $\frac{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t-i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t+i a}{2 K}\right)}$, рассматриваемая как функция от $t$, имеет вещественный период $\frac{2 K}{\lambda}$. Поэтому показательная функция правой части дает среднее движение $\varphi$, т. е. прецессионное движение системы относительно неизменяемой прямой. Так как
\[
\begin{array}{l}
\vartheta_{01}(v)=1-2 q \cos 2 \pi v+2 q^{4} \cos 4 \pi v-\ldots, \\
\vartheta_{01}^{\prime}(v)=4 \pi q \sin 2 \pi v-8 \pi q^{4} \sin 4 \pi v-\ldots,
\end{array}
\]

то коэффициент при $t$ в выражении для $\varphi$, т. е. постоянная часть величины $\dot{\varphi}$ или прецессия
\[
\frac{d}{A}+\frac{\lambda}{2 i K} \frac{\vartheta_{01}^{\prime}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}
\]

может быть написана в форме:
\[
\frac{d}{A}+4 \mu \frac{q \operatorname{sh} 2 \gamma-2 q^{4} \operatorname{sh} 4 \gamma+\ldots}{1-2 q \operatorname{ch} 2 \gamma+2 q^{4} \operatorname{ch} 4 \gamma-\ldots}
\]

из которой он и вычисляется.
ПРимеР 1. Для вышерассмотренного эллипсоида с полуосями $a=1$, $b=2, c=3$ имеем:
\[
\begin{array}{c}
2 \gamma=1,568, \quad \operatorname{sh} 2 \gamma=2,294, \quad \operatorname{ch} 2 \gamma=2,503, \\
d=12,452 \pi, \quad A=20,8 \pi, \quad \mu=0,5651, \quad q=0,0171 .
\end{array}
\]

Поэтому среднее движение $\varphi$, которое при отбрасывании $q^{4}$ может записано в форме:
\[
\frac{d}{A}+4 \mu \cdot \frac{q \operatorname{sh} 2 \gamma}{1-2 q \operatorname{ch} 2 \gamma},
\]

равно
\[
0,5986+0,0970=0,6956 .
\]

ПРимеР 2. На однородный круглый диск, центр которого $O$ закреплен неподвижно, не действуют никакие внешние силы. Диску сообщена начальная угловая скорость $\Omega$ вокруг диаметра, совпадающего с неподвижной прямой $O \xi$, и угловая скорость $n$ вокруг оси, совпадающей с неподвижной прямой $O \zeta$. Показать, что для всякого последующего момента времени
\[
\begin{array}{l}
\chi=2 \arcsin \left[\frac{\Omega}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \sin \left\{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} t\right\}\right], \\
\omega=\operatorname{arcctg}\left[\frac{\Omega}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \operatorname{tg}\left\{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} t\right\}\right],
\end{array}
\]

где $\chi$ означает угол между $O \zeta$ и осью $O z$ диска, а $\omega$ – угол, образованный плоскостями $\zeta O \xi$ и $\zeta O z$.

Пусть, как и выше, $O Z$ совпадает с неизменяемой прямой. В сферическом треугольнике $Z \zeta z$, вершины которого образованы точками пересечения прямых $O Z, O \zeta, O z$ с некоторой сферой, имеющей центр в $O, Z z=\vartheta, \zeta Z z=\varphi$. Кроме того, для диска имеют место соотношения $C=2 B=2 A$. Поэтому
\[
d^{2}=A^{2} \Omega^{2}+C^{2} n^{2}=A^{2}\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right),
\]

откуда
\[
\frac{d}{A}=\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} .
\]

Уравнения движения для $\vartheta$ и $\varphi$ дают:
\[
\dot{\vartheta}=0, \quad \dot{\varphi}=\frac{d}{A}=\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}},
\]

откуда
\[
\vartheta=Z \zeta=\arccos \frac{2 n}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}, \quad \varphi=\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} t .
\]

Поэтому в сферическом треугольнике $Z \zeta z$ :
\[
Z \zeta=Z z=\arccos \frac{2 n}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}, \widehat{\zeta Z z}=\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} t, \widehat{\zeta Z z}=\omega, \zeta z=\chi
\]

Отсюда вытекает, что
\[
\sin \frac{1}{2} \chi=\sin Z \zeta \sin \frac{1}{2} \zeta Z z=\frac{\Omega}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \sin \left\{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} t\right\}
\]

и
\[
\operatorname{ctg} \omega=\cos Z \zeta \operatorname{tg} \frac{1}{2} \zeta Z z=\frac{2 n}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \operatorname{tg}\left\{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} t\right\} .
\]

Таким образом, мы получили искомые уравнения.