Рассмотрим поверхность второго порядка
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}-2 F y z-2 G z x-2 H x y=1,
\]

где $A, B, C, F, G, H$ – моменты инерции и девиации в системе осей $О х у z$.
Из равенства
\[
A^{\prime}=A l_{1}^{2}+B m_{1}^{2}+C n_{1}^{2}-2 F m_{1} n_{1}-2 G n_{1} l_{1}-2 H l_{1} m_{1}
\]

следует тогда, что величина, обратная квадрату любого радиусавектора поверхности, равна моменту инерции тела относительно этого радиуса-вектора. Поэтому эта поверхность второго порядка будет инвариантна по отношению к выбору системы координат с общим началом. Следовательно, в системе прямоугольных осей $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ с тем же началом уравнение ее будет:
\[
A^{\prime} x^{\prime 2}+B^{\prime} y^{\prime 2}+C^{\prime} z^{\prime 2}-2 F^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}-2 G^{\prime} z^{\prime} x^{\prime}-2 H^{\prime} x^{\prime} y^{\prime}=1,
\]

где $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, F^{\prime}, G^{\prime}, H^{\prime}$, – моменты инерции и девиации в этой системе осей. Эта поверхность второго порядка называется эллипсоидом инериии тела относительно точки $O$, а ее главные оси – главными осями инерции тела для точки $O$. Уравнение поверхности, отнесенное к этим осям, не будет содержать членов с произведениями координат; следовательно, моменты девиации относительно этих осей исчезают. Моменты же инерции для этих осей называются главными моментами инерции тела относительно точки $O^{1}$.

Поверхность, получающаяся отображением эллипсоида инерции относительно его центра по методу обратных поляр, есть тоже эллипсоид, который иногда называют гирационным эллипсоидом.
${ }^{1}$ Главные оси инерции открыли Эйлер (Mem. de Berlin 1758) и Сегнер (I. A. Segner, Specimen Theoriae Turbinum, 1755). Эллипсоид инерции был введен в 1827 г. Коши (Exerc. de math., т. 2, стр. 93).

Задача 1. Высота однородного прямого кругового конуса равна половине радиуса основания. Показать, что его эллипсоид инерции относительно вершины есть шар.