1. В качестве примера рассмотрим движение материальной точки массы 1 в консервативном поле сил с потенциальной энергией (в прямоугольных координатах $x$ и $y$ ):
\[
-\frac{1+3 x}{3\left(1+2 x+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
\]

или, (разлагая в ряд)
\[
x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}-\frac{8}{3} x^{3}-x y^{2}+5 x^{4}-\frac{5}{8} y^{4}+\text { члены пятого }
\]

и высших порядков,
так что начало координат является положением равновесия. Исследуем движение вблизи этого положения равновесия.

Если ввести новые переменные при помощи контактного преобразования:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=2^{\frac{3}{4}} q_{1}^{\frac{1}{2}} \sin p_{1}, \quad x=2^{\frac{1}{4}} q_{1}^{\frac{1}{2}} \cos p_{1}, \\
\dot{y}=2^{\frac{1}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}} \sin p_{2}, \quad y=2^{\frac{1}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}} \cos p_{2},
\end{array}
\]

то функция Гамильтона примет вид:
\[
\begin{aligned}
H & =2^{\frac{1}{2}} q_{1} \sin ^{2} p_{1}+ \\
& +q_{2} \sin ^{2} p_{2}-\frac{1+3 \cdot 2^{\frac{1}{4}} q_{1}^{\frac{1}{2}} \cos p_{1}}{3\left(1+2^{\frac{5}{4}} q_{1}^{\frac{1}{2}} \cos p_{1}+2^{\frac{1}{2}} q_{1} \cos ^{2} p_{1}+2 q_{2} \cos ^{2} p_{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
\end{aligned}
\]

или, разлагая в ряд:
\[
\begin{aligned}
H & =2^{\frac{1}{2}}+q_{2}+2^{\frac{7}{4}} q_{1}^{\frac{3}{2}}\left(-\cos p_{1}-\frac{1}{3} \cos ^{3} p_{1}\right)+ \\
& +2^{-\frac{3}{4}} q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}\left\{-2 \cos p_{1}-\cos \left(p_{1}+2 p_{2}\right)-\cos \left(p_{1}-2 p_{2}\right)\right\}+\cdots
\end{aligned}
\]

Подставляя это выражение в формулу (4) предыдущего параграфа, мы получим родственный интеграл в виде:
\[
\begin{aligned}
\text { const } & =\varphi \equiv 2^{\frac{1}{2}} q_{1}-q_{2}+2^{\frac{7}{4}} q_{1}^{\frac{3}{2}}\left(-\cos p_{1}-\frac{1}{3} \cos 3 p_{1}\right)+ \\
& +2^{-\frac{3}{4}} q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}\left\{-2 \cos p_{1}+(1-\sqrt{2})^{2} \cos \left(p_{1}+2 p_{2}\right)+\right. \\
& \left.+(1+\sqrt{2})^{2} \cos \left(p_{1}-2 p_{2}\right)\right\}+\cdots
\end{aligned}
\]

Но легко убедиться простым дифференцированием, что рассматриваемая динамическая система допускает интеграл:
\[
\begin{aligned}
\text { const } & =\left(q_{2}^{\frac{1}{2}} \sin p_{2}+2^{\frac{1}{4}} q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}} \sin p_{2} \cos p_{1}-2^{\frac{3}{4}} q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}} \sin p_{1} \cos p_{2}\right)^{2}- \\
& -\frac{1+2^{\frac{1}{4}} q_{1}^{\frac{1}{2}} \cos p_{1}}{\left(1+2^{\frac{5}{4}} q_{1}^{\frac{1}{2}} \cos p_{1}+2^{\frac{1}{2}} q_{1} \cos ^{2} p_{1}+2 q_{2} \cos ^{2} p_{2}\right)^{\frac{1}{2}}},
\end{aligned}
\]

который может быть представлен в виде:
\[
\begin{aligned}
\text { const } & =q_{2}+2^{-\frac{1}{4}}(1-\sqrt{2}) q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2} \cos \left(p_{1}+2 p_{2}\right)- \\
& -2^{\frac{1}{4}}(1+\sqrt{2}) q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2} \cos \left(p_{1}-2 p_{2}\right)+\cdots
\end{aligned}
\]

Очевидно, что ряд (2) может быть получен из ряда (1), выражающего интеграл энергии, путем вычитания из него удвоенного ряда (3). Это показывает, что для рассматриваемой частной системы ряд (2) совпадает с разложением, получаемым из известного интеграла при помощи простых алгебраических и тригонометрических выкладок, при которых не нарушается сходимость. Таким образом, для частной динамической системы мы установили сходимость ряда (2) при достаточно малых значениях величин $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$.