Рассмотрим частный случай подобия, когда $w=-1$.

Движение системы, у которой связи не зависят от времени, а действующие силы зависят лишь только от положения ее точек, определяются уравнениями:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Здесь $T$ есть однородная квадратичная функция от $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ зависящая, кроме того, произвольным образом от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, а $Q_{r}-$ функции одних лишь координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Введем новую независимую переменную $\tau$, определяемую уравнением $\tau=i t$, где $i=\sqrt{-1}$. Обозначим штрихами дифференцирование по переменной $\tau$. Так как $\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)$ и $\frac{\partial T}{\partial q_{r}}$ однородны относительно $d t$ и порядок однородности равен -2 , то предыдущие уравнения преобразовываются в уравнения:
\[
\frac{d}{d \tau}\left(\frac{\partial T^{*}}{\partial q_{r}^{\prime}}\right)-\frac{\partial T^{*}}{\partial q_{r}}=-Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $T^{*}$ образована из величин $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ по тому же закону, что и $T$ из величин $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$.

Если $\tau$ рассматривать как время, то последние уравнения представляют собой уравнения движения первоначальной системы под действием сил, имеющих те же величины, но противоположные направления. Если, кроме того, через $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ обозначить начальные значения величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ для какогонибудь частного движения первоначальной системы, то $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$, $-i \beta_{1},-i \beta_{2}, \ldots,-i \beta_{n}$ являются начальными значениями соответствующих величин в преобразованной системе. Мы получаем, таким образом, теорему: во всякой динамической системе со связями, не зависящими от времени, и с силами, зависящими лищь только от координат, интегралы уравнений движения останутся вещественными, если $t$ заменить через $і \tau$, а начальные значения $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ – через $-i \beta_{1},-i \beta_{2}, \ldots,-i \beta_{n}$. Полученные таким образом выражения определяют движения системы при старых начальных условиях, но при силах, имеющих первоначальные величины, но противоположные направления.