Перейдем теперь к аналитическому представлению любого движения твердого тела. Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz. Мы будем предполагать, что эта система правая, т. е. если ось $O z$ направлена вертикально вверх, а ось $O y$ на север, то ось $O x$ будет указывать на восток. Пусть рассматриваемое движение складывается из вращения на угол $\omega$ вокруг некоторой оси, имеющей направ-

Рис. 1 ляющие косинусы $\alpha, \beta, \gamma$ и проходящей через некоторую точку $A$, с координатами $a, b, c$ и поступательного перемещения на отрезок $d$ вдоль этой оси. Угол $\omega$ следует брать с определенным знаком: при направленной вертикально вверх оси ( $\alpha, \beta, \gamma)$ его следует считать положительным, если вращение совершается с юга на север через восток. Пусть точка $P$, с координатами $x, y, z$, после полного перемещения займет положение $Q(X, Y, Z)$, а после только поступательного перемещения положение $R(\xi, \eta, \zeta)$. Очевидно, имеем:
\[
\begin{array}{l}
\xi=x+d \cos \alpha, \\
\eta=y+d \cos \beta, \\
\zeta=z+d \cos \gamma .
\end{array}
\]

Обозначим через $K$ основание перпендикуляра, опущенного из $R$ (или $Q$ ) на ось вращения, и через $L$ – основание перпендикуляра, опущенного из $Q$ на $K R$. Тогда $X-\xi$ равняется проекции ломаной $R L Q$ на ось $O x$. При этом проекции следует брать с соответствующими знаками, так что, например, проекция $A B$ на ось $x$ равна $x_{B}-x_{A}$.
Но проекция отрезка $K R$ на ось $O x$ равна:
$\xi-a$-проекция отрезка $A K$ на ось $O x$

или
\[
\xi-a-\cos \alpha\{(\xi-a) \cos \alpha+(\eta-b) \cos \beta+(\zeta-c) \cos \gamma\}
\]

и так как $R L=-(1-\cos \omega) K R$, то проекция $R L$ на ось $O x$ равна:
\[
-(1-\cos \omega)[\xi-a-\cos \alpha\{(\xi-a) \cos \alpha+(\eta-b) \cos \beta+(\zeta-c) \cos \gamma\}] .
\]

Кроме того, отрезок $L Q$ перпендикулярен к плоскости $R K A$ и поэтому его направляющие косинусы пропорциональны величинам:
\[
\begin{array}{c}
(\xi-c) \cos \beta-(\eta-b) \cos \gamma, \quad(\xi-a) \cos \gamma-(\zeta-c) \cos \alpha, \\
(\eta-b) \cos \alpha-(\xi-a) \cos \beta .
\end{array}
\]

Так как сумма квадратов этих трех величин, поделенная на $\left\{(\xi-a)^{2}+(\eta-b)^{2}+(\zeta-c)^{2}\right\}$, равна квадрату синуса угла $R A K$, то эта сумма равна $(K R)^{2}$, а эти три величины суть проекции на координатные оси отрезка $\pm K R$, отложенного на прямой $L Q$. В силу соотношения
\[
L Q= \pm K R \sin \omega
\]

получаем для проекций $L Q$ на ось $x$ выражение:
\[
\pm \sin \omega\{(\zeta-c) \cos \beta-(\eta-b) \cos \gamma\} .
\]

В этом выражении следует взять верхний знак, как в этом легко убедиться, направляя, например, ось вращения по оси $z$. Итак, получаем:
\[
\begin{array}{c}
X-\xi=-(1-\cos \omega)\left\{(\xi-a)-\cos ^{2} \alpha(\xi-a)-\cos \alpha \cos \beta(\eta-b)-\right. \\
-\cos \alpha \cos \gamma(\zeta-c)\}+\sin \omega\{\cos \beta(\zeta-c)-\cos \gamma(\eta-b)\} .
\end{array}
\]

Выражая $\xi, \eta, \zeta$ через $x, y, z$, получаем:
\[
\begin{aligned}
X= & x+d \cos \alpha-(1-\cos \omega)\left\{(x-a) \sin ^{2} \alpha-\cos \alpha \cos \beta(y-b)-\right. \\
& -\cos \alpha \cos \gamma(z-c)\}+\sin \omega\{\cos \beta(z-c)-\cos \gamma(y-b)\} .
\end{aligned}
\]

Аналогично:
\[
\begin{array}{c}
Y=y+d \cos \beta-(1-\cos \omega)\left\{(y-b) \sin ^{2} \beta-\cos \beta \cos \gamma(z-c)-\right. \\
\quad-\cos \beta \cos \alpha(x-a)\}+\sin \omega\{\cos \gamma(x-a)-\cos \alpha(z-c)\}, \\
Z=z+d \cos \gamma-(1-\cos \omega)\left\{(z-c) \sin ^{2} \gamma-\cos \gamma \cos \alpha(x-a)-\right. \\
\quad-\cos \gamma \cos \beta(y-b)\}+\sin \omega\{\cos \alpha(y-b)-\cos \beta(x-a)\} .{ }^{1}
\end{array}
\]

Эти равенства выражают новые координаты $X, Y, Z$ через координаты $x, y, z$ начального положения точки и через величины, характеризующие движение.