Пусть теперь $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}$, $P_{2}, \ldots, P_{n}$ означают $2 n$ функций от $2 n$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{n}$. Покажем теперь, что условия контактности преобразования, преобразуюшего одну систему переменных в другую, могут быть написаны следующим образом:
\[
\begin{array}{rrr}
\left(P_{i}, P_{j}\right)=0,\left(Q_{i}, Q_{j}\right)=0 & (i, j=1,2, \ldots, n), \\
\left(Q_{i}, P_{j}\right)=0 & (i, j=1,2, \ldots, n ; i
eq j), \\
\left(Q_{i}, P_{i}\right)=1 & (i=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]
В самом деле, в § 129 мы видели, что условия для контактности преобразования выражались следующими равенствами:
\[
\begin{array}{rrr}
{\left[P_{i}, P_{j}\right]} & =0,\left[Q_{i}, Q_{j}\right]=0 & (i, j=1,2, \ldots, n), \\
{\left[Q_{i}, P_{j}\right]} & =0 & (i, j=1,2, \ldots, n ; i
eq j), \\
{\left[Q_{i}, P_{i}\right]} & =1 & (i=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]
Поэтому уравнения
\[
\sum_{t=1}^{2 n}\left(u_{t}, u_{r}\right)\left[u_{t}, u_{s}\right]=0 \quad(r
eq s)
\]
предыдущего параграфа переходят в
\[
\begin{array}{l}
\left(Q_{i}, Q_{j}\right)=0,\left(P_{i}, P_{j}\right)=0 \quad(i, j=1,2, \ldots, n), \\
\left(P_{j}, Q_{i}\right)=0 \quad(i, j=1,2, \ldots, n ; i
eq j), \\
\end{array}
\]
а уравнения
\[
\sum_{t=1}^{2 n}\left(u_{t}, u_{r}\right)\left[u_{t}, u_{r}\right]=1
\]
дают:
\[
\left(Q_{i}, P_{i}\right)=1 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]
что и доказывает теорему.
Задача 1. Пусть переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ связаны с переменными $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ при помощи контактного преобразования. Показать, что
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial Q_{r}} \frac{\partial \psi}{\partial P_{r}}-\frac{\partial \varphi}{\partial P_{r}} \frac{\partial \psi}{\partial Q_{r}}\right)=\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{r}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{r}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{r}}\right)
\]
т. е. что скобки Пуассона от двух произвольных функций $\varphi$ и $\psi$ в обеих системах переменных совпадают.
Задачд 2. Пусть через $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ обозначены известные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, удовлетворяющие уравнениям с частными производными:
\[
\left(Q_{r}, Q_{s}\right)=0 \quad(r, s=1,2, \ldots, n) .
\]
Показать, что можно определить $n$ функций $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ таким образом, что преобразование $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ в $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}$, $P_{2}, \ldots, P_{n}$ будет контактным.
