Теорема $\S 121$, доказанная для системы с двумя степенями свободы, может быть теперь распространена на систему с любым числом степеней свободы. Эта теорема гласит ${ }^{2}$. Пусть уравнения:
\[
\varphi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t\right)=a_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

с произвольными постоянными $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ представляют собой $n$ известных независимых интегралов динамической системы:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $H$ есть данная функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$, а функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n}$ находятся в инволюции.

Если систему уравнений $\varphi_{r}=a_{r}$ разрешить относительно $p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{n}$ и полученные выражения:
\[
p_{r}=f_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, t\right) \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

вставить в выражение:
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\cdots+p_{n} d q_{n}-H d t
\]

то оно перейдет в полный дифференциал:
\[
d V\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, t\right),
\]

и остальные интегралы системы выразятся уравнениями:
\[
\frac{\partial V}{\partial a_{r}}=b_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ – произвольные постоянные.
В самом деле, так как функции $\varphi_{1}-a_{1}, \varphi_{2}-a_{2}, \ldots, \varphi_{n}-a_{n}$ находнтся в инволюции, то согласно предыдущему параграфу то же самое будет иметь место и по отношению к функциям $p_{1}-f_{1}, p_{2}-f_{2}, \ldots, p_{n}-f_{n}$.
${ }^{2}$ Эта теорема содержит в основном известный метод полного решения нелинейного уравнения с частными производными в его приложении к уравнению Гамильтона. Как теорема динамики она была высказана Лиувиллем (Journ. d. Math., т. 20, стр. 137,1855$)$.

Поэтому
\[
\left(p_{r}-f_{r}, p_{s}-f_{s}\right)=0 \quad(r, s=1,2, \ldots, n)
\]

или
\[
\frac{\partial f_{s}}{\partial q_{r}}-\frac{\partial f_{r}}{\partial q_{s}}=0 \quad(r, s=1,2, \ldots, n) .
\]

Далее, имеем:
\[
-\frac{\partial H}{\partial q_{r}}=\frac{d p_{r}}{d t}=\frac{d f_{r}}{d t}=\frac{\partial f_{r}}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial f_{r}}{\partial q_{s}} \frac{d q_{s}}{d t}=\frac{\partial f_{r}}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial f_{s}}{\partial q_{r}} \frac{\partial H}{\partial p_{s}}
\]

и поэтому
\[
\frac{\partial f_{r}}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_{s}} \frac{\partial f_{s}}{\partial q_{r}}=-\frac{\partial H_{1}}{\partial q_{r}},
\]

где $H_{1}$ есть $H$, выраженное как функция аргументов $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, t$.
Уравнения:
\[
\frac{\partial f_{s}}{\partial q_{r}}=\frac{\partial f_{r}}{\partial q_{s}}, \quad \frac{\partial f_{r}}{\partial t}=-\frac{\partial H_{1}}{\partial q_{r}}
\]

показывают, что
\[
f_{1} d q_{1}+f_{2} d q_{2}+\cdots+f_{n} d q_{n}-H_{1} d t
\]

есть полный дифференциал некоторой функции $V\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, a_{1}\right.$, $\left.a_{2}, \ldots, a_{n}, t\right)$, чем и доказывается первая часть теоремы.

Обозначая теперь $d$ полный дифференциал функции $V$ относительно всех ее аргументов, будем иметь:
\[
d V=f_{1} d q_{1}+f_{2} d q_{2}+\cdots+f_{n} d q_{n}-H_{1} d t+\sum_{r} \frac{\partial V}{\partial a_{r}} d a_{r} .
\]

Если в этом уравнении заменить величины $a_{r}$ их значениями $\varphi_{r}$, то оно перейдет в тождество относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$
\[
d V-\sum_{r} \frac{\partial V}{\partial a_{r}} d \varphi_{r}=p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\cdots+p_{n} d q_{n}-H d t,
\]

в левой части которого величины $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, входящие в $d V$ и $\sum \frac{\partial V}{\partial a_{r}}$, должны быть заменены их значениями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n}$. Это тождество показывает, что дифференциальная форма
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\cdots+p_{n} d q_{n}-H d t
\]

выраженная в переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n}, t$ переходит в
\[
-\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial a_{r}} d \varphi_{r}+d V
\]

и что, следовательно, система дифференциальных уравнений первоначальной динамической задачи эквивалентна первой системе Пфаффа этой дифференциальной формы, а именно системе:
\[
d\left(\frac{\partial V}{\partial a_{r}}\right)=0, \quad d \varphi_{r}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Следовательно, величины $\frac{\partial V}{\partial a_{r}}$ остаются постоянными в течение всего движения, т. е. уравнения:
\[
\frac{\partial V}{\partial a_{r}}=b_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ – новые произвольные постоянные, являются интегралами системы. Таким образом, теорема полностью доказана.
ЗАДАчА 1. В движении по инерции твердого тела вокруг неподвижной точки $\vartheta, \varphi, \psi$ означают углы Эйлера, определяющие положение тела относительно произвольных подвижных осей $O X Y Z$, проходящих через неподвижную точку, $A, B, C$ – главные моменты инерции тела в неподвижной точке, $a$ постоянную энергии, $a_{1}$ – момент количества двияения относительно неподвижной оси $O Z$ и $a_{2}$ – момент количества движения относительно перпендикуляра к неизменяемой плоскости. Далее, пусть $\vartheta_{1}, \varphi_{1}, \psi_{1}$ означают соответственно величины $\frac{\partial T}{\partial \dot{\vartheta}}, \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}, \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}$. Вывести уравнения:
\[
\begin{aligned}
\vartheta & =\operatorname{arctg}\left\{\frac{\left(a_{2}^{2}-a_{1}^{2}-\vartheta_{1}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{a_{1}}\right\}-\operatorname{arctg}\left\{\frac{\left(a_{2}^{2}-\psi_{1}^{2}-\vartheta_{1}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\psi_{1}}\right\}, \\
\varphi_{1} & =-a_{1}, \\
\frac{\pi}{2}-\psi & =\operatorname{arctg}\left\{\vartheta_{1}\left(a_{2}^{2}-\psi_{1}^{2}-\vartheta_{1}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right\}+\operatorname{arctg}\left\{-\frac{A\left(2 B a-a_{2}^{2}\right) C+(C-B) \psi_{1}^{2}}{B\left(2 A a-a_{2}^{2}\right) C+(C-A) \psi_{1}^{2}}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\end{aligned}
\]

Показать далее, что
\[
\vartheta d \vartheta_{1}+\psi d \psi_{1}+a_{1} d \varphi
\]

есть полный дифференциал некоторой функции $V$ и что остальными интегралами системы будут:
\[
\frac{\partial T}{\partial a}=b-t, \quad \frac{\partial T}{\partial a_{1}}=b_{1}, \quad \frac{\partial T}{\partial a_{2}}=b_{2},
\]

где $b, b_{1}, b_{2}$ произвольные постоянные. (Siacci.)