Прекрасной иллюстрацией к теории периодических и асимптотических решений может служить движение планет в гравитационном поле, вызываемом действием одной единственной притягивающей массы, когда закон притяжения Ньютона заменен более точным и философски законченным законом притяжения, даваемым общей теорией относительности.

Выберем начало координат в центре Солнца и пусть положение планеты и плоскости движения определяется двумя координатами $r$ и которые могут быть рассматриваемы как обычные полярные координаты (точнее, расстояние точки от начала координат определяется не $r$, а некоторой функцией от $r$ ). Обозначим время через $t$ и определим квадратичную дифференциальную форму $d{s}^2$ при помощи равенства:
$$d{s}^2=c^2(1-\frac{\alpha }{r})d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-\frac{\alpha }{r}}-r^{2}d{\vartheta }^2,$$
${}^1$ Poincaré, Méth. Nouv., т. 1, гл. VII; Picard, Traité d’Analvse, т. 3, гл. VII.
${}^2$ Poincaré, Acta Math., т. 13, стр. 225; Méth. Nouv., т. III, гл. XXXIII.

где $c$ — скорость света в пустоте, а $\alpha$ — постоянная, зависящая от массы Солнца. Пусть
$$T=\frac{1}{2}{c}^2(1-\frac{\alpha }{r})t^{\prime 2}-\frac{1}{2}\frac{{r^{\prime }}^2}{1-\frac{\alpha }{r}}-\frac{1}{2}{r}^2{{\vartheta }^{\prime }}^2,$$

где штрихи означают дифференцирование по $s$. Тогда, как это доказывается в руководствах по теории относительности, уравнения, определяющие траекторию планеты, суть уравнения Лагранжа:
$$\begin{array}{l}\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial T}{\partial r^{\prime }}\right)-\frac{\partial T}{\partial r}=0,\\ \frac{d}{ds}\left(\frac{\partial T}{\partial {\vartheta }^{\prime }}\right)-\frac{\partial T}{\partial \vartheta }=0,\\ \frac{d}{ds}\left(\frac{\partial T}{\partial t^{\prime }}\right)-\frac{\partial T}{\partial t}=0.\end{array}$$

Последние два уравнения дают $\frac{\partial T}{\partial {\vartheta }^{\prime }}=$ const и $\frac{\partial T}{\partial t^{\prime }}=$ const или
$$\begin{array}{rl}{r}^2\frac{d\vartheta }{ds}& =\frac{1}{\sqrt{\beta }},\\ (1-\frac{\alpha }{r})\frac{dt}{ds}& =-\frac{k^2}{c^2\sqrt{\beta }},\end{array}$$

где $k$ и $\beta$ — постоянные. Подставляя эти уравнения в уравнение
$$d{s}^2=c^2(1-\frac{\alpha }{r})d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-\frac{\alpha }{r}}-r^{2}d{\vartheta }^2,$$

получим:
$$\frac{d{r}^2}{1-\frac{\alpha }{r}}=\{-\beta r^4+\frac{k^2{r}^4}{c(1-\frac{\alpha }{r})}-r^2\}d{\vartheta }^2.$$

Полагая $u=\frac{1}{r}$, получим окончательное уравнение траектории планеты в следующем виде:
$${\left(\frac{du}{d\vartheta }\right)}^2=\frac{k^2}{c^2}-(1-\alpha u)(\beta +u^2).$$

Так как выражение, стоящее в правой части, есть полином третьей степени относительно $u$, то это уравнение может быть проинтегрировано при помощи эллиптических функций. Полагая
$$u=\frac{4}{\alpha }U+\frac{1}{3\alpha },$$

получим:
$${\left(\frac{dU}{d\vartheta }\right)}^2=4U^3-g_{2}U-g_3,$$

где
$$g_2=\frac{1}{12}-\frac{{\alpha }^2\beta }{4},g_3=\frac{1}{216}+\frac{{\alpha }^2\beta }{24}-\frac{{\alpha }^2{k}^2}{16c^2}.$$

Интегрируя, находим:
$$U=\mathrm{\wp }(\vartheta +C),$$

где $C$ — постоянная интегрирования. Таким образом, уравнением траектории, выраженным в координатах $r$ и $\vartheta$, будет:
$$\frac{\alpha }{4r}=\frac{1}{12}+\mathrm{\wp }(\vartheta +C).$$

Среди траекторий, определяемых этим уравнением, мы рассмотрим следующие:
1. Квази-эллиптические траектории. Если $g_2$ и $g_3$ действительны и дискриминант $\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2$ положителен, то все три корня $e_1,e_2$ и $e_3$ вещественны. Мы будем предполагать, что $e_1>e_2>e_3$. Тогда величина
$${\omega }_1={\int }_{e_1}^{\mathrm{\infty }}\frac{dz}{{(4z^3-g_{2}z-g_3)}^{\frac{1}{2}}}$$

будет действительной, а величина
$${\omega }_2=i{\int }_{-e_2}^{\mathrm{\infty }}\frac{dz}{{(4z^3-g_{2}z-g_3)}^{\frac{1}{2}}}$$

чисто мнимой. При этих условиях для траектории, определяемой уравнением
$$\frac{\alpha }{4r}=\frac{1}{12}+\mathrm{\wp }(\vartheta -{\omega }_3)$$

будем иметь:
$$\begin{array}{c}\text{ при }\vartheta =0:\frac{\alpha }{4r}=\frac{1}{12}+e_3,\frac{d}{d\vartheta }\left(\frac{1}{r}\right)=0,\frac{d^2}{d{\vartheta }^2}\left(\frac{1}{r}\right)<0,\\ \text{ при }\vartheta ={\omega }_1:\frac{\alpha }{4r}=\frac{1}{12}+e_2,\frac{d}{d\vartheta }\left(\frac{1}{r}\right)=0,\frac{d^2}{d{\vartheta }^2}\left(\frac{1}{r}\right)>0.\end{array}$$

Следовательно, $\vartheta =0$ отвечает перицентру, $\vartheta ={\omega }_1$ — апоцентру, если только величина $\frac{1}{12}+e_2$ положительна. Последнее условие, как это нетрудно видеть, эквивалентно условию $c^2\beta >k^2$. Для полученных таким образом траекторий радиус-вектор колеблется между постоянными конечными пределами $\frac{\alpha }{\frac{1}{3}+4e_3}$ и $\frac{\alpha }{\frac{1}{3}+4e_2}$, так что траектория планеты расположена между двумя концентрическими окружностями

Рис. 4
с центром в Солнце (рис. 4). Движение планеты в общем сходно с эллиптическим движением по закону Ньютона и отличается от последнего тем, что здесь имеет место вращение линии апсид: между двумя последовательными перицентрами или апоцентрами угол $\vartheta$ возрастает не на $2\pi$, как в случае движения по закону Ньютона, а на величину $2{\omega }_1$, отличную от $2\pi$. Для нашей солнечной системы разность $2{\omega }_1-2\pi$ настолько незначительна, что она обнаруживается только у Меркурия.

Очевидно, что эти «квази-эллиптические» траектории, как мы их можем назвать, будут периодическими, если величина ${\omega }_1$, соизмерима $c\pi$. Таким образом, мы получаем ${\mathrm{\infty }}^2$ периодических траекторий, имеющих перицентры на линии $\vartheta =0$, или, замечая, что вращение вокруг начала переводит траектории в траектории, мы получаем ${\mathrm{\infty }}^3$ периодических траекторий этого класса.
2. Траектории двояко-асимптотические
Рис. 5 $\kappa$ круговым. Допустим теперь, что постоянные $k$ и $\beta$ (зависящие от начальных условий) подобраны таким образом, что дискриминант $\mathrm{\Delta }$ равен нулю, так что два из корней $e_1,e_2,e_3$ равны между собой. Пусть кратный корень равен $e$, так что другой корень равен $-2e$. Если $e$ положительно, то, полагая $3e=n^2$, легко найдем, что дифференциальное уравнение удовлетворяется при
$$\frac{\alpha }{4r}=\frac{1}{12}+\frac{n^2}{3}-\frac{n^3}{{\mathrm{ch}}^{2}n\vartheta }.$$

Здесь имеется апоцентр при $\vartheta =0$, если при этом получается положительное значение для $r$, т. е. если выполняется условие $8n^2<1$.
Последнее условие, как легко видеть, эквивалентно условию ${\alpha }^2\beta >\frac{1}{4}$.
Когда $\vartheta$ стремится $\kappa \pm \mathrm{\infty }$, траектория асимптотически приближается к окружности:
$$\frac{\alpha }{4r}=\frac{1}{12}+\frac{n^2}{3},$$

расположенной внутри траектории (рис. 5). Когда $n^2$ изменяется между 0 и $\frac{1}{8}$, радиус асимптотической окружности изменяется между $3\alpha$ и $2\alpha$.

3. Круговые периодические траектории. Если в квази-эллиптической траектории мы положим расстояние от перигелия равным расстоянию до афелия, то мы получим круговую траекторию. В этом случае $e_2=e_3$, где $e_2$ и $e_3$ — меньшие корни кубического уравнения, дискриминант $\mathrm{\Delta }$ равен нулю и кратный корень отрицателен, следовательно, $\frac{\alpha }{4r}<\frac{1}{12}$. Радиус круговой траектории, являющейся предельныл случаем квази-элиптической траектории, должен быть больше, чем $3\alpha$.

Тем не менее могут существовать и такие круговые траектории, для которых $r<3\alpha$, а именно рассмотренные выше асимптотические окружности. Для них кратный корень кубического уравнения положителен. Круговые траектории, для которых $r<3\alpha$, неустойчивы; так как существуют траектории, стремящиеся к ним асимптотически.