Приложим методы, изложенные в предыдущей главе, к исследованию движения одной материальной точки в тех случаях, когда интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений выполняется в квадратурах.

Рассмотрим сначала движение материальной точки, движущейся по гладкой, покоящейся кривой под действием сил, зависящих только от положения точки на кривой.

Пусть $s$ означает путь, пройденный точкой к моменту времени $t$, отсчитываемый от произвольно выбираемой точки кривой. Тангенсальный компонент силы, приложенной к точке, обозначим через $f(s)$.
Кинетическая энергия точки равна
\[
\frac{1}{2} m \dot{s}^{2},
\]

а потенциальная энергия равна, очевидно,
\[
-\int_{s_{0}}^{s} f(s) d s
\]

где $s_{0}$ – постоянная. Интеграл энергии имеет поэтому вид:
\[
\frac{1}{2} m \dot{s}^{2}=\int_{s_{0}}^{s} f(s) d s+c,
\]

где $c$ – постоянная интегрирования.
Интеграция этого уравнения дает:
\[
t=\left(\frac{m}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \int_{s_{0}}^{s}\left\{\int_{s_{0}}^{s} f(s) d s+c\right\}^{-\frac{1}{2}} d s+l,
\]

где $l$ – новая постоянная интегрирования. Это уравнение дает решение задачи, ибо оно связывает величины $s$ и $t$ с постоянными интегрирования.

Постоянные $c$ и $l$ могут быть определены из начальных условий движения. Допустим для этого, что движущаяся точка выходит в момент времени $t=t_{0}$ из положения $s=s_{0}$, имея при этом скорость, равную $u$. Тогда, подставляя эти значения в интеграл энергии, получим:
\[
c=\frac{1}{2} m u^{2},
\]

а подставляя эти значения в уравнение, связывающее $s$ и $t$,получим
\[
l=t_{0} .
\]

Одной из наиболее известных задач рассматриваемого типа является задача о движении математического маятника. Здесь кривая имеет вид окружности радиуса $a$, расположенной в вертикальной плоскости, и единственной силой, приложенной к движущейся точке, является сила тяжести ${ }^{1}$. Обозначая через $\vartheta$ угол между радиусом-вектором (выходящим из центра круга) движущейся точки и направленной вниз вертикалью, будем иметь:
\[
s=a \vartheta, \quad f(s)=-m g \sin \vartheta,
\]

и поэтому уравнение энергии принимает вид:
\[
a \dot{\vartheta}^{2}=2 g \cos \vartheta+\text { const }=-4 g \sin ^{2} \frac{\vartheta}{2}+\text { const. }
\]

Обозначим через $h$ значение величины $\frac{a^{2} \dot{\vartheta}^{2}}{2 g}$ в наинизшей точке окружности. Тогда последнее уравнение может быть написано в виде:
\[
a^{2} \dot{\vartheta}^{2}=2 g h-4 g a \sin ^{2} \frac{\vartheta}{2} .
\]

Полагая $\sin \frac{1}{2} \vartheta=y$, получим:
\[
\dot{y}^{2}=\frac{g}{a}\left(1-y^{2}\right)\left(\frac{h}{2 a}-y^{2}\right) .
\]

Следует различать два типа движения маятника: движение колебательное, когда точка колеблется около наинизшей точки окружности,
${ }^{1}$ В действительном маятнике кривая заменена штангой, соединяющей материальную точку с центром круга. Изохронизм малых колебаний маятника открыл Галилей (1632); формулу для периода дал Гюйгенс (1673). Колебания с конечной амплитудой исследовал впервые Эйлер (1736).

и движение круговое, когда точка обладает настолько большой скоростью, что она все время описывает полные круги в одном и том же направлении. Рассмотрим эти случаи в отдельности.
1. При колебательном движении точка останавливается, не достигая наивысшей точки окружности; поэтому $\dot{y}$ обращается в нуль при некотором значении $y<1$. Следовательно, $\frac{h}{2 a}<1$. Полагая
\[
h=2 a k^{2},
\]

где $k$ – новая положительная постоянная, меньшая единицы, будем иметь:
\[
\dot{y}^{2}=\frac{g k^{2}}{a}\left(1-k^{2} \cdot \frac{y^{2}}{k^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{k^{2}}\right) .
\]

Решение этого уравнения имеет вид ${ }^{1}$ :
\[
y=k \operatorname{sn}\left\{\sqrt{\frac{g}{a}}\left(t-t_{0}\right), k\right\},
\]

где $t_{0}$ – произвольная постоянная.
Это уравнение дает решение задачи колебательного движения маятника. Постоянными интегрирования являются $t_{0}$ и $k$; они должны быть определены из начальных условий движения. Из известных свойств эллиптической функции sn вытекает, что движение является периодическим. Период колебания, т. е. промежуток времени между двумя последовательными прохождениями (в одну и ту же сторону), маятника через одну и ту же точку равен $4 \sqrt{\frac{a}{g}} K$, где
\[
K=\int_{0}^{1}\left(1-t^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(1-k^{2} t^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} d t .
\]
2. При круговом движении маятника $h>2 a$. Следовательно, полагая $2 a=h k^{2}$, будем иметь $k<1$.
Дифференциальное уравнение принимает теперь вид:
\[
\dot{y}^{2}=\frac{g}{a k^{2}}\left(1-y^{2}\right)\left(1-k^{2} y^{2}\right) .
\]

Его решение есть
\[
y=\operatorname{sn}\left\{\sqrt{\frac{g}{a}} \frac{t-t_{0}}{k}, k\right\} .
\]
${ }^{1}$ См. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа (перевод с английского Г. М. Голузина), §22, 11.

Постоянные интегрирования $t_{0}$ и $k$ должны быть определены из начальных условий.
3. Допустим, наконец, что $h=2 a$, так что движущаяся точка как раз достигает наивысшей точки окружности. Дифференциальное уравнение принимает теперь вид:
\[
\dot{y}^{2}=\frac{g}{a}\left(1-y^{2}\right)^{2}
\]

или
\[
\dot{y}=\sqrt{\frac{g}{a}}\left(1-y^{2}\right) .
\]

Его решение есть
\[
y=\operatorname{th}\left\{\sqrt{\frac{g}{a}}\left(t-t_{0}\right)\right\} .
\]

Аппелль (Appell) ${ }^{1}$ заметил, что при помощи теоремы § 34 можно получить представление о мнимых периодах эллиптических функций, входящих в решение задачи движения маятника. В самом деле, для точки, опущенной без начальной скорости с высоты $h$ над наинизшей точкой окружности, движение определяется уравнением:
\[
y=k \operatorname{sn}\left\{\sqrt{\frac{g}{a}}\left(t-t_{0}\right), k\right\},
\]

где $k^{2}=\frac{h}{2 a}$.
Если бы сила тяжести была направлена вверх, то согласно § 34 при тех же начальных условиях, движение определилось бы уравнением:
\[
y=k \operatorname{sn}\left\{i \sqrt{\frac{g}{a}}\left(\tau-\tau_{0}\right), k\right\} .
\]

Но это движение имеет тот же период, что и движение с высоты $2 a-h$, при силе тяжести, направленной вниз. Последнее же движение определяется уравнением:
\[
y=k^{\prime} \operatorname{sn}\left\{\sqrt{\frac{g}{a}}\left(\tau-\tau_{0}\right), k^{\prime}\right\},
\]

где $k^{\prime 2}=1-k^{2}$.
Оно имеет вещественный период $4 \sqrt{\frac{a}{g}} K^{\prime}$. Поэтому функция
\[
\operatorname{sn}\left\{i \sqrt{\frac{g}{a}}\left(\tau-\tau_{0}\right), k\right\}
\]
${ }^{1}$ Comptes Rendus, т. 87. 1878.

должна иметь период $4 \sqrt{\frac{a}{g}} K^{\prime}$ и, следовательно, функция $\operatorname{sn}(u, k)$ – период $4 i K^{\prime}$. Таким образом, двоякая периодичность эллиптических функций выводится и из динамических соображений.
ЗАддча 1. Точка массы 1 движется по эпициклоиде, описываемой точкой окружности радиуса $b$, катящейся по неподвижной окружности радиуса $a$. Она отталкивается центром неподвижной окружности с силой, равной $\mu r$, где $r$ – расстояние между этим центром и движущейся точкой. Показать, что движение периодично и что период равен:
\[
2 \pi\left\{\frac{(a+2 b)^{2}-a^{2}}{\mu a^{2}}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]
(При решении удобней всего воспользоваться уравнением эпициклоиды в форме
\[
(a+2 b)^{2}-r^{2}=\frac{a^{2} s^{2}}{(a+2 b)^{2}-a_{2}},
\]

где $s$ есть длина дуги эпициклоиды, отсчитываемая от вершины.)