Покажем сейчас на частном примере, как при помощи только что указанного метода можно получить родственный интеграл, свободный от уничтожающихся делителей в случае 3 .

Рассмотрим динамическую систему, определяемую функцией Гамильтона:
\[
H=q_{1}-2 q_{2}+q_{1}^{\frac{3}{2}} U_{1} \cos p_{1}+q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right) .
\]

Если функция Гамильтона есть
\[
H=s_{1} q_{1}+s_{2} q_{2}+q_{1}^{\frac{3}{2}} U_{1} \cos p_{1}+q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right) .
\]

где $s_{1}$ и $s_{2}$ произвольны, то родственным интегралом, получаемым методом § 196, будет:
\[
\begin{array}{l}
\text { const }=s_{1} q_{1}-s_{2} q_{2}+q_{1}^{\frac{3}{2}} U_{1} \cos p_{1}+\frac{2 s_{1}-s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)+ \\
+\frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{1} U_{4} q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{4 \cos \left(p_{1}+p_{2}\right)}{s_{1}+s_{2}}+\frac{2 \cos \left(3 p_{1}+p_{2}\right)}{3 s_{1}+s_{2}}\right\}+ \\
+U_{1}^{2} U_{4} q_{1}^{2} q_{2}^{\frac{1}{2}} \frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}}\left\{-\frac{3}{3 s_{1}+s_{2}} \frac{\cos \left(4 p_{1}+p_{2}\right)}{4 s_{1}+s_{2}}-\right. \\
\left.-\frac{6}{3 s_{1}+s_{2}} \frac{\cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)}{2 s_{1}+s_{2}}-\frac{6}{s_{1}+s_{2}} \frac{\cos p_{2}}{s_{2}}\right\}+ \\
+U_{1} U_{4}^{2} q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2} \frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}}\left\{\frac{2\left(9 s_{1}+s_{2}\right)}{\left(s_{1}+s_{2}\right)\left(3 s_{1}+s_{2}\right)} \frac{\cos p_{1}}{s_{1}}+\frac{4}{s_{1}+s_{2}} \frac{\cos \left(3 p_{1}+2 p_{2}\right)}{3 s_{1}+2 s_{2}}\right\}+ \\
+U_{1} U_{4}^{2} q_{1}^{\frac{5}{2}} \frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} \cdot \frac{5 s_{1}+s_{2}}{\left(3 s_{1}+s_{2}\right)\left(s_{1}+s_{2}\right)} \cdot \frac{\cos p_{1}}{s_{1}}+
\end{array}
\]
+ члены шестого и высшего порядков относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$.
В нашем случае $s_{1}=1, s_{2}=-2$ и, следовательно, знаменатель $2 s_{1}+s_{2}$ обращается в нуль. Этот знаменатель появляется в четвертом члене вышенаписанного выражения и встречается во всех дальнейших членах, причем он входит в квадрате в коэффициент при члене $q_{1}^{2} q_{2}^{\frac{1}{2}} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)$ пятого порядка. Мы должны будем изменить ряд (6) таким образом, чтобы получить интеграл, не содержащий уничтожающихся знаменателей.

В первую очередь мы применим метод § 203. Наинизший член, содержащий уничтожающийся знаменатель, есть:
\[
\frac{2 s_{1}-s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right),
\]

и поэтому мы должны попытаться найти интеграл, у которого наинизший член (отбрасывая несущественные множители $2 s_{1}-s_{2}$ и $U_{4}$ ) равен:
\[
q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right) .
\]

Полагая поэтому, что интеграл имеет вид:
\[
\text { const }=\varphi \equiv q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)+\varphi_{4}+\varphi_{5}+\varphi_{6}+\cdots,
\]

где $\varphi_{r}$, означает член $r$-го порядка относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$; подставим его в уравнение $(\varphi, H)=0$ и приравняем нулю члены четвертого порядка. Тогда для определения $\varphi_{4}$ мы получим уравнение:
\[
\frac{\partial \varphi_{4}}{\partial p_{1}}-2 \frac{\partial \varphi_{4}}{\partial p_{2}}=q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{1}\left\{2 \sin \left(p_{1}+p_{2}\right)+\cos \left(3 p_{1}+p_{2}\right)\right\} .
\]

Интегралом этого уравнения будет:
\[
\varphi_{4}=q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{1}\left\{2 \cos \left(p_{1}+p_{2}\right)-\cos \left(3 p_{1}+p_{2}\right)\right\} .
\]

К нему может быть, однако, добавлен член вида:
\[
\alpha q_{1}^{2}+\beta q_{1} q_{2}+\gamma q_{2}^{2},
\]

где $\alpha, \beta$ и $\gamma$ – произвольные постоянные, так как этот член удовлетворяет дифференциальному уравнению и имеет вид, свойственный функции $\varphi_{4}$. Необходимо заметить, что этот член не является излишним, как в общем случае, исследованном в § 196. В общем случае добавление такого члена к $\varphi_{4}$ эквивалентно добавлению произвольной квадратичной функции от интеграла энергии и родственного интеграла. В рассматриваемом сейчас случае родственный интеграл начинается нелинейными членами, и поэтому квадратичная функция от него не может дать членов вида (7). Выберем произвольные постоянные в (7) таким образом, чтобы освободиться от членов с уничтожающимися знаменателями в членах высшего порядка функции $\varphi$. Приняв
\[
\varphi_{4}=q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{1}\left\{2 \cos \left(p_{1}+p_{2}\right)-\cos \left(3 p_{1}+p_{2}\right)\right\}+\alpha q_{1}^{2}
\]

и подставив в уравнение:
\[
\frac{\partial \varphi_{5}}{\partial p_{1}}-2 \frac{\partial \varphi_{5}}{\partial p_{2}}=\left(\varphi_{4}, H_{3}\right),
\]

определяющее $\varphi_{5}$, находим, что члены правой части, содержащие $\sin \left(2 p_{1}+p_{2}\right)$ (вводящие при интегрировании нулевые знаменатели), суть:
\[
-3 q_{1}^{2} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{1}^{2} \sin \left(2 p_{1}+p_{2}\right)-4 \alpha q_{1}^{2} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{4} \sin \left(2 p_{1}+p_{2}\right),
\]

и они все обращаются в нуль, если
\[
\alpha=-\frac{3}{4} \frac{U_{1}^{2}}{U_{4}} .
\]

Таким образом, повторным применением метода § 201 мы сумеем исключить члены с уничтожающимися знаменателями и получить свободный от них родственный интеграл.