Главная > АНАЛИТИЧИСКАЯ ДИНАМИКА (Э.УИТТЕКЕР)
<< Предыдущий параграф
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Покажем сейчас на частном примере, как при помощи только что указанного метода можно получить родственный интеграл, свободный от уничтожающихся делителей в случае 3 .

Рассмотрим динамическую систему, определяемую функцией Гамильтона:
\[
H=q_{1}-2 q_{2}+q_{1}^{\frac{3}{2}} U_{1} \cos p_{1}+q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right) .
\]

Если функция Гамильтона есть
\[
H=s_{1} q_{1}+s_{2} q_{2}+q_{1}^{\frac{3}{2}} U_{1} \cos p_{1}+q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right) .
\]

где $s_{1}$ и $s_{2}$ произвольны, то родственным интегралом, получаемым методом § 196, будет:
\[
\begin{array}{l}
\text { const }=s_{1} q_{1}-s_{2} q_{2}+q_{1}^{\frac{3}{2}} U_{1} \cos p_{1}+\frac{2 s_{1}-s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)+ \\
+\frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{1} U_{4} q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{4 \cos \left(p_{1}+p_{2}\right)}{s_{1}+s_{2}}+\frac{2 \cos \left(3 p_{1}+p_{2}\right)}{3 s_{1}+s_{2}}\right\}+ \\
+U_{1}^{2} U_{4} q_{1}^{2} q_{2}^{\frac{1}{2}} \frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}}\left\{-\frac{3}{3 s_{1}+s_{2}} \frac{\cos \left(4 p_{1}+p_{2}\right)}{4 s_{1}+s_{2}}-\right. \\
\left.-\frac{6}{3 s_{1}+s_{2}} \frac{\cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)}{2 s_{1}+s_{2}}-\frac{6}{s_{1}+s_{2}} \frac{\cos p_{2}}{s_{2}}\right\}+ \\
+U_{1} U_{4}^{2} q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2} \frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}}\left\{\frac{2\left(9 s_{1}+s_{2}\right)}{\left(s_{1}+s_{2}\right)\left(3 s_{1}+s_{2}\right)} \frac{\cos p_{1}}{s_{1}}+\frac{4}{s_{1}+s_{2}} \frac{\cos \left(3 p_{1}+2 p_{2}\right)}{3 s_{1}+2 s_{2}}\right\}+ \\
+U_{1} U_{4}^{2} q_{1}^{\frac{5}{2}} \frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} \cdot \frac{5 s_{1}+s_{2}}{\left(3 s_{1}+s_{2}\right)\left(s_{1}+s_{2}\right)} \cdot \frac{\cos p_{1}}{s_{1}}+
\end{array}
\]
+ члены шестого и высшего порядков относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$.
В нашем случае $s_{1}=1, s_{2}=-2$ и, следовательно, знаменатель $2 s_{1}+s_{2}$ обращается в нуль. Этот знаменатель появляется в четвертом члене вышенаписанного выражения и встречается во всех дальнейших членах, причем он входит в квадрате в коэффициент при члене $q_{1}^{2} q_{2}^{\frac{1}{2}} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)$ пятого порядка. Мы должны будем изменить ряд (6) таким образом, чтобы получить интеграл, не содержащий уничтожающихся знаменателей.

В первую очередь мы применим метод § 203. Наинизший член, содержащий уничтожающийся знаменатель, есть:
\[
\frac{2 s_{1}-s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right),
\]

и поэтому мы должны попытаться найти интеграл, у которого наинизший член (отбрасывая несущественные множители $2 s_{1}-s_{2}$ и $U_{4}$ ) равен:
\[
q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right) .
\]

Полагая поэтому, что интеграл имеет вид:
\[
\text { const }=\varphi \equiv q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)+\varphi_{4}+\varphi_{5}+\varphi_{6}+\cdots,
\]

где $\varphi_{r}$, означает член $r$-го порядка относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$; подставим его в уравнение $(\varphi, H)=0$ и приравняем нулю члены четвертого порядка. Тогда для определения $\varphi_{4}$ мы получим уравнение:
\[
\frac{\partial \varphi_{4}}{\partial p_{1}}-2 \frac{\partial \varphi_{4}}{\partial p_{2}}=q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{1}\left\{2 \sin \left(p_{1}+p_{2}\right)+\cos \left(3 p_{1}+p_{2}\right)\right\} .
\]

Интегралом этого уравнения будет:
\[
\varphi_{4}=q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{1}\left\{2 \cos \left(p_{1}+p_{2}\right)-\cos \left(3 p_{1}+p_{2}\right)\right\} .
\]

К нему может быть, однако, добавлен член вида:
\[
\alpha q_{1}^{2}+\beta q_{1} q_{2}+\gamma q_{2}^{2},
\]

где $\alpha, \beta$ и $\gamma$ – произвольные постоянные, так как этот член удовлетворяет дифференциальному уравнению и имеет вид, свойственный функции $\varphi_{4}$. Необходимо заметить, что этот член не является излишним, как в общем случае, исследованном в § 196. В общем случае добавление такого члена к $\varphi_{4}$ эквивалентно добавлению произвольной квадратичной функции от интеграла энергии и родственного интеграла. В рассматриваемом сейчас случае родственный интеграл начинается нелинейными членами, и поэтому квадратичная функция от него не может дать членов вида (7). Выберем произвольные постоянные в (7) таким образом, чтобы освободиться от членов с уничтожающимися знаменателями в членах высшего порядка функции $\varphi$. Приняв
\[
\varphi_{4}=q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{1}\left\{2 \cos \left(p_{1}+p_{2}\right)-\cos \left(3 p_{1}+p_{2}\right)\right\}+\alpha q_{1}^{2}
\]

и подставив в уравнение:
\[
\frac{\partial \varphi_{5}}{\partial p_{1}}-2 \frac{\partial \varphi_{5}}{\partial p_{2}}=\left(\varphi_{4}, H_{3}\right),
\]

определяющее $\varphi_{5}$, находим, что члены правой части, содержащие $\sin \left(2 p_{1}+p_{2}\right)$ (вводящие при интегрировании нулевые знаменатели), суть:
\[
-3 q_{1}^{2} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{1}^{2} \sin \left(2 p_{1}+p_{2}\right)-4 \alpha q_{1}^{2} q_{2}^{\frac{1}{2}} U_{4} \sin \left(2 p_{1}+p_{2}\right),
\]

и они все обращаются в нуль, если
\[
\alpha=-\frac{3}{4} \frac{U_{1}^{2}}{U_{4}} .
\]

Таким образом, повторным применением метода § 201 мы сумеем исключить члены с уничтожающимися знаменателями и получить свободный от них родственный интеграл.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru