1. Допустим, сначала, что функция Гамильтона разложена в ряд, как в $§ 195$, и что отношение $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ есть число иррациональное. Мы составим сейчас ряд, формально удовлетворяющий дифференциальным уравнениям, и если этот ряд будет сходиться, то он представит интеграл этих уравнений.

Если $\varphi\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)$ есть интеграл, то должно удовлетворяться уравнение:
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}} \frac{\partial H}{\partial p_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}} \frac{\partial H}{\partial p_{2}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial H}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial H}{\partial q_{2}}=0,
\]

которое можно записать в виде $(\varphi, H)=\mathbf{0}$.
${ }^{1}$ Proc. R. S. Edin., т. 37 , стр. $95,1916$.

Попробуем удовлетворить этому уравнению формальным рядом, расположенным по степеням $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$, и тригонометрическим функциям от $p_{1}$ и $p_{2}$ (аналогичным ряду для $H$ ), у которого член наинизшего порядка есть $s_{1} q_{1}-s_{2} q_{2}$. Имеем:
\[
\varphi \equiv s_{1} q_{1}-s_{2} q_{2}+\varphi_{3}+\varphi_{4}+\varphi_{5}+\cdots,
\]

где $\varphi_{r}$ означает член $r$-го порядка относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$.
Подставляя в уравнение (3) и приравнивая нулю член наинизшего порядка, получим:
\[
s_{1} \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{1}}+s_{2} \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{2}}=s_{1} \frac{\partial H_{3}}{\partial p_{1}}-s_{2} \frac{\partial H_{3}}{\partial p_{2}} .
\]

Отсюда непосредственно вытекает, что каждому члену вида $A \cos \left(m p_{1}+n p_{2}\right)$ в $H_{3}$ соответствует член вида $\frac{s_{1} m-s_{2} n}{s_{1} m+s_{2} n} A \cos \left(m p_{1}+n p_{2}\right)$ в $\varphi_{3}$. Следовательно, значение $\varphi_{3}$ может быть написано сразу. Определив таким образом $\varphi_{3}$, мы приравняем в (3) нулю член четвертого порядка относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$. Это даст уравнение:
\[
s_{1} \frac{\partial \varphi_{4}}{\partial p_{1}}+s_{2} \frac{\partial \varphi_{4}}{\partial p_{2}}=s_{1} \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{1}}-s_{2} \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{2}}+\left(\varphi_{3}, H_{3}\right) .
\]

Так как все величины, стоящие в правой части этого уравнения, известны, то мы можем определить отсюда $\varphi_{4}{ }^{1}$ тем же способом, каким мы определяли $\varphi_{3}$ из предыдущего уравнения. Выполнив все указанные вычисления, мы получим интеграл в виде ряда:
\[
\begin{array}{l}
\text { const }=\varphi \equiv s_{1} q_{1}-s_{2} q_{2}+q_{1}^{\frac{3}{2}}\left(U_{1} \cos p_{1}+U_{2} \cos 3 p_{1}\right)+ \\
+q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{-U_{3} \cos p_{2}+\frac{2 s_{1}-s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)+\right. \\
\left.+\frac{2 s_{1}+s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} \cos \left(2 p_{1}-p_{2}\right)\right\}+q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}\left\{U_{6} \cos p_{1} \frac{s_{1}-2 s_{2}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} \cos \left(2 p_{2}+p_{1}\right)+\right. \\
\left.+\frac{s_{1}+2 s_{2}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} \cos \left(2 p_{2}-p_{1}\right)\right\}+q_{2}^{\frac{3}{2}}\left\{-U_{9} \cos p_{2}-U_{10} \cos 3 p_{2}\right\}+ \\
+q_{1}^{2}\left[\left\{\frac{1}{2 s_{1}+s_{2}} U_{3} U_{4}+\frac{1}{2 s_{1}-s_{2}} U_{3} U_{5}+X_{2}\right\} \cos 2 p_{1}+\right.
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Уравнение для $_{4}$ не допускает решения желаемой формы, если в правой части коэффициенты при $q_{1}^{2}, q_{1} q_{2}, q_{2}^{2}$ не равны нулю, так как члены такого вида в $\varphi_{4}$ уничтожаются оператором $s_{1} \frac{\partial}{\partial p_{1}}+s_{2} \frac{\partial}{\partial p_{2}}$. Но не трудно видеть, что эти члены отсутствуют в выражениях $s_{1} \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{1}}-s_{2} \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{2}}$ и $\left(\varphi_{3}, H_{3}\right)$. То же самое относится и к уравнениям для $\varphi_{6}, \varphi_{8}, \ldots$ Общее исследование этих критических членов см. у Черри (T. M. Cherry, Proc. Camb. Phil. Soc., т. 22, стр. 325, 510, 1924).

\[
\begin{array}{l}
\left.+\left\{\frac{s_{2}}{\left(2 s_{1}+s_{2}\right)\left(2 s_{1}-s_{2}\right)} U_{4} U_{5}+X_{3}\right\} \cos 4 p_{1}\right]+ \\
+q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}}\left[\frac { \operatorname { c o s } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) } { s _ { 1 } + s _ { 2 } } \left\{\frac{-2 s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{3} U_{7}-\frac{6 s_{1} s_{2}}{\left(2 s_{1}-s_{2}\right)\left(s_{1}-2 s_{2}\right)} U_{5} U_{8}+\right.\right. \\
+U_{3} U_{6}+\frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{6}-U_{1} U_{3}+\frac{4 s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{1} U_{4}+ \\
\left.+\frac{6 s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{2} U_{5}+\left(s_{1}-s_{2}\right) X_{4}\right\}+ \\
+\frac{\cos \left(p_{1}-p_{2}\right)}{s_{1}-s_{2}}\left\{\frac{-6 s_{1} s_{2} U_{4} U_{7}}{\left(2 s_{1}+s_{2}\right)\left(s_{1}+2 s_{2}\right)}+\frac{2 s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{3} U_{8}-U_{3} U_{6}+\right. \\
+\frac{s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{6}-U_{1} U_{3}-\frac{4 s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{1} U_{5}-\frac{6 s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{2} U_{4}+ \\
\left.+\left(s_{1}+s_{2}\right) X_{5}\right\}+\frac{\cos \left(3 p_{1}+p_{2}\right)}{2 s_{1}+s_{2}}\left\{\frac{10 s_{1} s_{2}}{\left(2 s_{1}-s_{2}\right)\left(s_{1}+2 s_{2}\right)} U_{5} U_{7}+\right. \\
\left.+\frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{6}-3 U_{2} U_{3}+\frac{2 s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{1} U_{4}+\left(3 s_{1}-s_{2}\right) X_{6}\right\}+ \\
+\frac{\cos \left(3 p_{1}-p_{2}\right)}{3 s_{1}-s_{2}}\left\{\frac{10 s_{1} s_{2}}{\left(2 s_{1}+s_{2}\right)\left(s_{1}-2 s_{2}\right)} U_{4} U_{8}+\frac{s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{6}-\right. \\
\left.\left.-3 U_{2} U_{3}-\frac{2 s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{1} U_{5}+\left(3 s_{1}+s_{2}\right) X_{7}\right\}\right]+ \\
+q_{1} q_{2}\left[\operatorname { c o s } 2 p _ { 1 } \left\{\frac{-2}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{9}+\frac{2}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{9}+\right.\right. \\
+\frac{8 s_{2}}{\left(s_{1}+2 s_{2}\right)\left(s_{1}-2 s_{2}\right)} U_{7} U_{8}-\frac{2}{2 s_{1}+s_{2}} U_{3} U_{4}- \\
\left.-\frac{2}{2 s_{1}-s_{2}} U_{3} U_{5}+X_{9}\right\}+ \\
+\cos 2 p_{2}\left\{\frac{2}{s_{1}+2 s_{2}} U_{6} U_{7}-\frac{2}{s_{1}-2 s_{2}} U_{6} U_{8}+\frac{2}{s_{1}+2 s_{2}} U_{1} U_{7}+\right. \\
\left.+\frac{2}{s_{1}-2 s_{2}} U_{1} U_{8}+\frac{8 s_{1}}{\left(2 s_{1}-s_{2}\right)\left(2 s_{1}+s_{2}\right)} U_{4} U_{5}-X_{10}\right\}+ \\
+\frac{\cos \left(2 p_{1}+2 p_{2}\right)}{2 s_{1}+2 s_{2}}\left\{\frac{-2 s_{1}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{9}+\frac{6 s_{1}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{10}+\right. \\
+\frac{4 s_{2}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{6} U_{7}+\frac{2 s_{2}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{1} U_{7}+\frac{6 s_{2}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{2} U_{8}- \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\left.-\frac{4 s_{1}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{3} U_{4}+\left(2 s_{1}-2 s_{2}\right) X_{11}\right\}+ \\
+\frac{\cos \left(2 p_{1}-2 p_{2}\right)}{2 s_{1}-2 s_{2}}\left\{\frac{2 s_{1}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{9}-\frac{6 s_{1}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{10}+\right. \\
+\frac{4 s_{2}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{6} U_{8}-\frac{2 s_{2}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{1} U_{8}-\frac{6 s_{2}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{2} U_{7}- \\
\left.\left.-\frac{4 s_{1}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{3} U_{5}+\left(2 s_{1}+2 s_{2}\right) X_{12}\right\}\right]+ \\
+q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}^{\frac{3}{2}}\left[\frac { \operatorname { c o s } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) } { s _ { 1 } + s _ { 2 } } \left\{U_{6} U_{9}-\frac{4 s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} U_{9}+\right.\right. \\
+\frac{6 s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} U_{10}-U_{3} U_{6}-\frac{s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{3} U_{7}+\frac{2 s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{6}+ \\
\left.+\frac{6 s_{1} s_{2}}{\left(2 s_{1}-s_{2}\right)\left(s_{1}-2 s_{2}\right)} U_{5} U_{8}+\left(s_{1}-s_{2}\right) X_{13}\right\}+ \\
+\frac{\cos \left(p_{1}-p_{2}\right)}{s_{1}-s_{2}}\left\{-U_{6} U_{9}-\frac{6 s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} U_{10}+\frac{4 s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} U_{9}-\right. \\
-U_{3} U_{6}-\frac{6 s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} U_{10}+\frac{4 s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} U_{9}-U_{3} U_{6}-\frac{s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{3} U_{8} \\
\left.-\frac{6 s_{1} s_{2}}{\left(s_{1}+2 s_{2}\right)\left(2 s_{1}+s_{2}\right)} U_{4} U_{7}-\frac{2 s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{6}+\left(s_{1}+s_{2}\right) X_{14}\right\} \\
+\frac{\cos \left(p_{1}+3 p_{2}\right)}{s_{1}+3 s_{2}}\left\{3 U_{6} U_{10}-\frac{2 s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} U_{9}-\right. \\
\left.\frac{s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{3} U_{7}+\frac{10 s_{1} s_{2}}{\left(s_{1}-2 s_{2}\right)\left(2 s_{1}+s_{2}\right)} U_{4} U_{8}+\left(s_{1}-3 s_{2}\right) X_{15}\right\}+ \\
\frac{\cos \left(p_{1}-3 p_{2}\right)}{s_{1}-3 s_{2}}\left\{-3 U_{6} U_{10}+\frac{2 s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} U_{9}-\right. \\
\left.\frac{s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{3} U_{8}-\frac{10 s_{1} s_{2}}{\left(s_{1}+2 s_{2}\right)\left(2 s_{1}-s_{2}\right)} U_{5} U_{7}+\left(s_{1}+3 s_{2}\right) X_{16}\right\}+ \\
+q_{2}^{2}\left\{\frac{1}{s_{1}+2 s_{2}} U_{6} U_{7}+\frac{1}{s_{1}-2 s_{2}} U_{6} U_{8}-X_{18}\right\} \cos 2 p_{2}+ \\
\left.+\left\{\frac{s_{1}}{\left(s_{1}-2 s_{2}\right)\left(s_{1}+2 s_{2}\right)} U_{7} U_{8}-X_{19}\right\} \cos 4 p_{2}\right]+ \text { члены } \\
\end{array}
\]

пятого и высших порядков относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$, где члены высших порядков могут быть получены таким же способом, как и $\varphi_{3}$ и $\varphi_{4}$.

Заметим, что вместо $s_{1} q_{1}-s_{2} q_{2}$ за член наинизшего порядка можно было бы принять $q_{1}$ или $q_{2}$ или же их любую линейную комбинацию. Получающийся таким образом интеграл будет простой линейной комбинацией из интеграла (4) и интеграла энергии, у которого член наинизшего порядка равен $s_{1} q_{1}+s_{2} q_{2}$.

Далее, к функции $\varphi_{4}$ можно добавить член вида $\alpha q_{1}^{2}+\beta q_{1} q_{2}+\gamma q_{2}^{2}$, где $\alpha, \beta$ и $\gamma$ – произвольные постоянные. В самом деле, этот член обращается в нуль оператором $s_{1} \frac{\partial}{\partial p_{1}}+s_{2} \frac{\partial}{\partial p_{2}}$, и поэтому $\varphi_{4}$ удовлетворяет соответственному уравнению, независимо от того, входит ли в него этот член или нет. Введение такого члена в $\varphi_{4}$ изменит тагже и выражения для $\varphi_{5}, \varphi_{6}$ и т. д., но все это сводится лишь к тому, что к функции $\varphi$ добавится некоторая квадратичная функция от известных уже интегралов, а именно самого интеграла (4) и интеграла энергии.

Аналогично к функции $\varphi_{6}$ можно добавить член вида $\alpha q_{1}^{3}+$ $+\beta q_{1}^{2} q_{2}+\gamma q_{1} q_{2}^{2}+\delta q_{2}^{3}$, и это сведется к тому, что к интегралу (4) добавится кубичная функция от него самого и интеграла энергии. От этого мы, очевидно, ничего не выиграем, и поэтому мы можем опустить эти произвольные члены в выражениях для $\varphi_{4}, \varphi_{6}, \varphi_{8}, \ldots$