Главная > АНАЛИТИЧИСКАЯ ДИНАМИКА (Э.УИТТЕКЕР)
<< Предыдущий параграф
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. Допустим, сначала, что функция Гамильтона разложена в ряд, как в $§ 195$, и что отношение $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ есть число иррациональное. Мы составим сейчас ряд, формально удовлетворяющий дифференциальным уравнениям, и если этот ряд будет сходиться, то он представит интеграл этих уравнений.

Если $\varphi\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)$ есть интеграл, то должно удовлетворяться уравнение:
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}} \frac{\partial H}{\partial p_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}} \frac{\partial H}{\partial p_{2}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial H}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial H}{\partial q_{2}}=0,
\]

которое можно записать в виде $(\varphi, H)=\mathbf{0}$.
${ }^{1}$ Proc. R. S. Edin., т. 37 , стр. $95,1916$.

Попробуем удовлетворить этому уравнению формальным рядом, расположенным по степеням $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$, и тригонометрическим функциям от $p_{1}$ и $p_{2}$ (аналогичным ряду для $H$ ), у которого член наинизшего порядка есть $s_{1} q_{1}-s_{2} q_{2}$. Имеем:
\[
\varphi \equiv s_{1} q_{1}-s_{2} q_{2}+\varphi_{3}+\varphi_{4}+\varphi_{5}+\cdots,
\]

где $\varphi_{r}$ означает член $r$-го порядка относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$.
Подставляя в уравнение (3) и приравнивая нулю член наинизшего порядка, получим:
\[
s_{1} \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{1}}+s_{2} \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{2}}=s_{1} \frac{\partial H_{3}}{\partial p_{1}}-s_{2} \frac{\partial H_{3}}{\partial p_{2}} .
\]

Отсюда непосредственно вытекает, что каждому члену вида $A \cos \left(m p_{1}+n p_{2}\right)$ в $H_{3}$ соответствует член вида $\frac{s_{1} m-s_{2} n}{s_{1} m+s_{2} n} A \cos \left(m p_{1}+n p_{2}\right)$ в $\varphi_{3}$. Следовательно, значение $\varphi_{3}$ может быть написано сразу. Определив таким образом $\varphi_{3}$, мы приравняем в (3) нулю член четвертого порядка относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$. Это даст уравнение:
\[
s_{1} \frac{\partial \varphi_{4}}{\partial p_{1}}+s_{2} \frac{\partial \varphi_{4}}{\partial p_{2}}=s_{1} \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{1}}-s_{2} \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{2}}+\left(\varphi_{3}, H_{3}\right) .
\]

Так как все величины, стоящие в правой части этого уравнения, известны, то мы можем определить отсюда $\varphi_{4}{ }^{1}$ тем же способом, каким мы определяли $\varphi_{3}$ из предыдущего уравнения. Выполнив все указанные вычисления, мы получим интеграл в виде ряда:
\[
\begin{array}{l}
\text { const }=\varphi \equiv s_{1} q_{1}-s_{2} q_{2}+q_{1}^{\frac{3}{2}}\left(U_{1} \cos p_{1}+U_{2} \cos 3 p_{1}\right)+ \\
+q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{-U_{3} \cos p_{2}+\frac{2 s_{1}-s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)+\right. \\
\left.+\frac{2 s_{1}+s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} \cos \left(2 p_{1}-p_{2}\right)\right\}+q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}\left\{U_{6} \cos p_{1} \frac{s_{1}-2 s_{2}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} \cos \left(2 p_{2}+p_{1}\right)+\right. \\
\left.+\frac{s_{1}+2 s_{2}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} \cos \left(2 p_{2}-p_{1}\right)\right\}+q_{2}^{\frac{3}{2}}\left\{-U_{9} \cos p_{2}-U_{10} \cos 3 p_{2}\right\}+ \\
+q_{1}^{2}\left[\left\{\frac{1}{2 s_{1}+s_{2}} U_{3} U_{4}+\frac{1}{2 s_{1}-s_{2}} U_{3} U_{5}+X_{2}\right\} \cos 2 p_{1}+\right.
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Уравнение для $_{4}$ не допускает решения желаемой формы, если в правой части коэффициенты при $q_{1}^{2}, q_{1} q_{2}, q_{2}^{2}$ не равны нулю, так как члены такого вида в $\varphi_{4}$ уничтожаются оператором $s_{1} \frac{\partial}{\partial p_{1}}+s_{2} \frac{\partial}{\partial p_{2}}$. Но не трудно видеть, что эти члены отсутствуют в выражениях $s_{1} \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{1}}-s_{2} \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{2}}$ и $\left(\varphi_{3}, H_{3}\right)$. То же самое относится и к уравнениям для $\varphi_{6}, \varphi_{8}, \ldots$ Общее исследование этих критических членов см. у Черри (T. M. Cherry, Proc. Camb. Phil. Soc., т. 22, стр. 325, 510, 1924).

\[
\begin{array}{l}
\left.+\left\{\frac{s_{2}}{\left(2 s_{1}+s_{2}\right)\left(2 s_{1}-s_{2}\right)} U_{4} U_{5}+X_{3}\right\} \cos 4 p_{1}\right]+ \\
+q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2}^{\frac{1}{2}}\left[\frac { \operatorname { c o s } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) } { s _ { 1 } + s _ { 2 } } \left\{\frac{-2 s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{3} U_{7}-\frac{6 s_{1} s_{2}}{\left(2 s_{1}-s_{2}\right)\left(s_{1}-2 s_{2}\right)} U_{5} U_{8}+\right.\right. \\
+U_{3} U_{6}+\frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{6}-U_{1} U_{3}+\frac{4 s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{1} U_{4}+ \\
\left.+\frac{6 s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{2} U_{5}+\left(s_{1}-s_{2}\right) X_{4}\right\}+ \\
+\frac{\cos \left(p_{1}-p_{2}\right)}{s_{1}-s_{2}}\left\{\frac{-6 s_{1} s_{2} U_{4} U_{7}}{\left(2 s_{1}+s_{2}\right)\left(s_{1}+2 s_{2}\right)}+\frac{2 s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{3} U_{8}-U_{3} U_{6}+\right. \\
+\frac{s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{6}-U_{1} U_{3}-\frac{4 s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{1} U_{5}-\frac{6 s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{2} U_{4}+ \\
\left.+\left(s_{1}+s_{2}\right) X_{5}\right\}+\frac{\cos \left(3 p_{1}+p_{2}\right)}{2 s_{1}+s_{2}}\left\{\frac{10 s_{1} s_{2}}{\left(2 s_{1}-s_{2}\right)\left(s_{1}+2 s_{2}\right)} U_{5} U_{7}+\right. \\
\left.+\frac{s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{6}-3 U_{2} U_{3}+\frac{2 s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{1} U_{4}+\left(3 s_{1}-s_{2}\right) X_{6}\right\}+ \\
+\frac{\cos \left(3 p_{1}-p_{2}\right)}{3 s_{1}-s_{2}}\left\{\frac{10 s_{1} s_{2}}{\left(2 s_{1}+s_{2}\right)\left(s_{1}-2 s_{2}\right)} U_{4} U_{8}+\frac{s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{6}-\right. \\
\left.\left.-3 U_{2} U_{3}-\frac{2 s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{1} U_{5}+\left(3 s_{1}+s_{2}\right) X_{7}\right\}\right]+ \\
+q_{1} q_{2}\left[\operatorname { c o s } 2 p _ { 1 } \left\{\frac{-2}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{9}+\frac{2}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{9}+\right.\right. \\
+\frac{8 s_{2}}{\left(s_{1}+2 s_{2}\right)\left(s_{1}-2 s_{2}\right)} U_{7} U_{8}-\frac{2}{2 s_{1}+s_{2}} U_{3} U_{4}- \\
\left.-\frac{2}{2 s_{1}-s_{2}} U_{3} U_{5}+X_{9}\right\}+ \\
+\cos 2 p_{2}\left\{\frac{2}{s_{1}+2 s_{2}} U_{6} U_{7}-\frac{2}{s_{1}-2 s_{2}} U_{6} U_{8}+\frac{2}{s_{1}+2 s_{2}} U_{1} U_{7}+\right. \\
\left.+\frac{2}{s_{1}-2 s_{2}} U_{1} U_{8}+\frac{8 s_{1}}{\left(2 s_{1}-s_{2}\right)\left(2 s_{1}+s_{2}\right)} U_{4} U_{5}-X_{10}\right\}+ \\
+\frac{\cos \left(2 p_{1}+2 p_{2}\right)}{2 s_{1}+2 s_{2}}\left\{\frac{-2 s_{1}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{9}+\frac{6 s_{1}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{10}+\right. \\
+\frac{4 s_{2}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{6} U_{7}+\frac{2 s_{2}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{1} U_{7}+\frac{6 s_{2}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{2} U_{8}- \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\left.-\frac{4 s_{1}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{3} U_{4}+\left(2 s_{1}-2 s_{2}\right) X_{11}\right\}+ \\
+\frac{\cos \left(2 p_{1}-2 p_{2}\right)}{2 s_{1}-2 s_{2}}\left\{\frac{2 s_{1}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{9}-\frac{6 s_{1}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{10}+\right. \\
+\frac{4 s_{2}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{6} U_{8}-\frac{2 s_{2}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{1} U_{8}-\frac{6 s_{2}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{2} U_{7}- \\
\left.\left.-\frac{4 s_{1}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{3} U_{5}+\left(2 s_{1}+2 s_{2}\right) X_{12}\right\}\right]+ \\
+q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}^{\frac{3}{2}}\left[\frac { \operatorname { c o s } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) } { s _ { 1 } + s _ { 2 } } \left\{U_{6} U_{9}-\frac{4 s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} U_{9}+\right.\right. \\
+\frac{6 s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} U_{10}-U_{3} U_{6}-\frac{s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{3} U_{7}+\frac{2 s_{2}}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} U_{6}+ \\
\left.+\frac{6 s_{1} s_{2}}{\left(2 s_{1}-s_{2}\right)\left(s_{1}-2 s_{2}\right)} U_{5} U_{8}+\left(s_{1}-s_{2}\right) X_{13}\right\}+ \\
+\frac{\cos \left(p_{1}-p_{2}\right)}{s_{1}-s_{2}}\left\{-U_{6} U_{9}-\frac{6 s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} U_{10}+\frac{4 s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} U_{9}-\right. \\
-U_{3} U_{6}-\frac{6 s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} U_{10}+\frac{4 s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} U_{9}-U_{3} U_{6}-\frac{s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{3} U_{8} \\
\left.-\frac{6 s_{1} s_{2}}{\left(s_{1}+2 s_{2}\right)\left(2 s_{1}+s_{2}\right)} U_{4} U_{7}-\frac{2 s_{2}}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} U_{6}+\left(s_{1}+s_{2}\right) X_{14}\right\} \\
+\frac{\cos \left(p_{1}+3 p_{2}\right)}{s_{1}+3 s_{2}}\left\{3 U_{6} U_{10}-\frac{2 s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} U_{9}-\right. \\
\left.\frac{s_{1}}{s_{1}+2 s_{2}} U_{3} U_{7}+\frac{10 s_{1} s_{2}}{\left(s_{1}-2 s_{2}\right)\left(2 s_{1}+s_{2}\right)} U_{4} U_{8}+\left(s_{1}-3 s_{2}\right) X_{15}\right\}+ \\
\frac{\cos \left(p_{1}-3 p_{2}\right)}{s_{1}-3 s_{2}}\left\{-3 U_{6} U_{10}+\frac{2 s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} U_{9}-\right. \\
\left.\frac{s_{1}}{s_{1}-2 s_{2}} U_{3} U_{8}-\frac{10 s_{1} s_{2}}{\left(s_{1}+2 s_{2}\right)\left(2 s_{1}-s_{2}\right)} U_{5} U_{7}+\left(s_{1}+3 s_{2}\right) X_{16}\right\}+ \\
+q_{2}^{2}\left\{\frac{1}{s_{1}+2 s_{2}} U_{6} U_{7}+\frac{1}{s_{1}-2 s_{2}} U_{6} U_{8}-X_{18}\right\} \cos 2 p_{2}+ \\
\left.+\left\{\frac{s_{1}}{\left(s_{1}-2 s_{2}\right)\left(s_{1}+2 s_{2}\right)} U_{7} U_{8}-X_{19}\right\} \cos 4 p_{2}\right]+ \text { члены } \\
\end{array}
\]

пятого и высших порядков относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$, где члены высших порядков могут быть получены таким же способом, как и $\varphi_{3}$ и $\varphi_{4}$.

Заметим, что вместо $s_{1} q_{1}-s_{2} q_{2}$ за член наинизшего порядка можно было бы принять $q_{1}$ или $q_{2}$ или же их любую линейную комбинацию. Получающийся таким образом интеграл будет простой линейной комбинацией из интеграла (4) и интеграла энергии, у которого член наинизшего порядка равен $s_{1} q_{1}+s_{2} q_{2}$.

Далее, к функции $\varphi_{4}$ можно добавить член вида $\alpha q_{1}^{2}+\beta q_{1} q_{2}+\gamma q_{2}^{2}$, где $\alpha, \beta$ и $\gamma$ – произвольные постоянные. В самом деле, этот член обращается в нуль оператором $s_{1} \frac{\partial}{\partial p_{1}}+s_{2} \frac{\partial}{\partial p_{2}}$, и поэтому $\varphi_{4}$ удовлетворяет соответственному уравнению, независимо от того, входит ли в него этот член или нет. Введение такого члена в $\varphi_{4}$ изменит тагже и выражения для $\varphi_{5}, \varphi_{6}$ и т. д., но все это сводится лишь к тому, что к функции $\varphi$ добавится некоторая квадратичная функция от известных уже интегралов, а именно самого интеграла (4) и интеграла энергии.

Аналогично к функции $\varphi_{6}$ можно добавить член вида $\alpha q_{1}^{3}+$ $+\beta q_{1}^{2} q_{2}+\gamma q_{1} q_{2}^{2}+\delta q_{2}^{3}$, и это сведется к тому, что к интегралу (4) добавится кубичная функция от него самого и интеграла энергии. От этого мы, очевидно, ничего не выиграем, и поэтому мы можем опустить эти произвольные члены в выражениях для $\varphi_{4}, \varphi_{6}, \varphi_{8}, \ldots$

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru