Значение контактных преобразований для динамики еще более уясняется, если ввести в рассмотрение определенную дифференциальную форму, инвариантно связанную с динамической системой.
Пусть
\[
X_{1} d x_{1}+X_{2} d x_{2}+\cdots+X_{2 n+1} d x_{2 n+1}
\]

произвольная дифференциальная форма с $2 n+1$ независимыми переменными $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 n+1}$. Согласно $\S 127$ билинейный ковариант
\[
\sum_{i=1}^{2 n+1} \sum_{j=1}^{2 n+1} a_{i j} d x_{i} \delta x_{j}
\]

этой формы, где $a_{i j}$ означают величины $\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}}$, связан с ней инвариантно. Приравнивая в отдельности нулю все коэффициенты при $\delta x_{1}, \delta x_{2}, \ldots, \delta x_{2 n+1}$, мы получим $2 n+1$ уравнений:
\[
\sum_{i=1}^{2 n+1} a_{i 1} d x_{i}=0, \quad \sum_{i=1}^{2 n+1} a_{i 2} d x_{i}=0, \quad \ldots, \quad \sum_{i=1}^{2 n+1} a_{i, 2 n+1} d x_{i}=0 .
\]

Так как определитель, составленный из величин $a_{i j}$, кососимметричен и нечетного порядка, то он тождественно равен нулю и уравнения совместны между собой. Они называются первой системой уравнений Пфаффа дифференциальной формы $\sum_{r=1}^{2 n+1} X_{r} d x_{r}$ и по самому закону своего образования инвариантно связаны с этой формой. Следовательно, если преобразованием переменных, при котором новые переменные $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2 n+1}$ суть заданные функции от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 n+1}$, дифференциальная форма преобразуется в
\[
\sum_{r=1}^{2 n+1} Y_{r} d y_{r}
\]

и соответствующая этой новой форме первая система Пфаффа есть
\[
\sum_{i=1}^{2 n+1} b_{i 1} d y_{i}=0, \quad \sum_{i=1}^{2 n+1} b_{i 2} d y_{i}=0, \quad \ldots, \quad \sum_{i=1}^{2 n+1} b_{i, 2 n+1} d y_{i}=0,
\]

то эти уравнения эквивалентны уравнениям:
\[
\sum_{i=1}^{2 n+1} a_{i 1} d x_{i}=0, \quad \sum_{i=1}^{2 n+1} a_{i 2} d x_{i}=0, \quad \ldots, \quad \sum_{i=1}^{2 n+1} a_{i, 2 n+1} d x_{i}=0 .
\]

Рассмотрим теперь специальную дифференциальную форму
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\cdots+p_{n} d q_{n}-H d t
\]

с $2 n+1$ переменными $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$, где $H$ — произвольная функция от этих переменных. Если составить величины $a_{i j}$ соответствующие этой форме, то в качестве ее первой пфаффовой системы получим уравнения:
\[
\begin{array}{rlr}
-d p_{r}-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} d t & =0 \quad(r=1,2, \ldots, n), \\
d q_{r}-\frac{\partial H}{\partial p_{r}} d t & =0 \quad(r=1,2, \ldots, n), \\
\partial H-\frac{\partial H}{\partial t} d t & =0 . &
\end{array}
\]

Последнее из этих уравнений есть следствие остальных поэтому вместо этой системы мы можем написать:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Но эти уравнения суть уравнения движения динамической системы, для которой функция Гамильтона равна $H$. Отсюда следует: Динамическая система с гамильтоновой функцией $H$ инвариантно связана с дифференциальной формой
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\cdots+p_{n} d q_{n}-H d t
\]

в том смысле, что уравнения движения динамической системы в любых переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 n}, \tau$ образуют первую систему уравнений Пфаффа для дифференциальной формы
\[
X_{1} d x_{1}+X_{2} d x_{2}+\cdots+X_{2 n} d x_{2 n}+T d \tau,
\]

в которую переходит форма
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\cdots+p_{n} d q_{n}-H d t
\]

после замены переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$ новыми переменными $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 n}, \tau$.