В предыдущем параграфе мы установили соотношение между моментами инерции относительно параллельных систем осей. Покажем теперь, что можно найти моменты инерции тела относительно любых прямоугольных осей, если они известны относительно прямоугольных осей, имеющих то же начало.

Пусть $A, B, C, F, G, H$ – моменты инерции и девиации относительно системы $O x y z$, которая имеет общее начало с системой $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. Направляющие косинусы обеих систем пусть заданы таблицей
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline & $x^{\prime}$ & $y^{\prime}$ & $z^{\prime}$ \\
\hline$x$ & $l_{1}$ & $l_{2}$ & $l_{3}$ \\
\hline$y$ & $m_{1}$ & $m_{2}$ & $m_{3}$ \\
\hline$z$ & $n_{1}$ & $n_{2}$ & $n_{3}$ \\
\hline
\end{tabular}

Если через $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, F^{\prime}, G^{\prime}, H^{\prime}$ обозначим моменты инерции и девиации относительно осей $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$, то будем иметь:
\[
A^{\prime}=\sum m\left({y^{\prime}}^{2}+{z^{\prime}}^{2}\right),
\]

где суммирование распространено на все точки системы, или
\[
\begin{aligned}
A^{\prime} & =\sum m\left\{\left(l_{2} x+m_{2} y+n_{2} z\right)^{2}+\left(l_{3} x+m_{3} y+n_{3} z\right)^{2}\right\}= \\
& =\sum m\left\{x^{2}\left(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}\right)+y^{2}\left(m_{2}^{2}+m_{3}^{2}\right)+z^{2}\left(n_{2}^{2}+n_{3}^{2}\right)+\right. \\
& \left.+2 y z\left(m_{2} n_{2}+m_{3} n_{3}\right)+2 z x\left(n_{2} l_{2}+n_{3} l_{3}\right)+2 x y\left(l_{2} m_{2}+l_{3} m_{3}\right)\right\}= \\
& =\sum m\left\{x^{2}\left(m_{1}^{2}+n_{1}^{2}\right)+y^{2}\left(n_{1}^{2}+l_{1}^{2}\right)+\right. \\
& \left.+z^{2}\left(l_{1}^{2}+m_{1}^{2}\right)-2 m_{1} n_{1} y z-2 n_{1} l_{1} z x-2 l_{1} m_{1} x y\right\}= \\
& =\sum m\left\{l_{1}^{2}\left(y^{2}+z^{2}\right)+m_{1}^{2}\left(z^{2}+x^{2}\right)+\right. \\
& \left.+n_{1}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 m_{1} n_{1} y z-2 n_{1} l_{1} z x-2 l_{1} m_{1} x y\right\}= \\
& =A l_{1}^{2}+B m_{1}^{2}+C n_{1}^{2}-2 F m_{1} n_{1}-2 G n_{1} l_{1}-2 H l_{1} m_{1}
\end{aligned}
\]

и аналогично
\[
\begin{array}{l}
B^{\prime}=A l_{2}^{2}+B m_{2}^{2}+C n_{2}^{2}-2 F m_{2} n_{2}-2 G n_{2} l_{2}-2 H l_{2} m_{2}, \\
C^{\prime}=A l_{3}^{2}+B m_{3}^{2}+C n_{3}^{2}-2 F m_{3} n_{3}-2 G n_{3} l_{3}-2 H l_{3} m_{3} .
\end{array}
\]

Далее, имеем:
\[
\begin{array}{l}
F=\sum m y^{\prime} z^{\prime}=\sum m\left(l_{2} x+m_{2} y+n_{2} z\right)\left(l_{3} x+m_{3} y+n_{3} z\right)= \\
=l_{2} l_{3} \sum m x^{2}+m_{2} m_{3} \sum m y^{2}+n_{2} n_{3} \sum m z^{2}+\left(m_{2} n_{3}+m_{3} n_{2}\right) \sum m y z+ \\
+\left(n_{2} l_{3}+n_{3} l_{2}\right) \sum m z x+\left(l_{2} m_{3}+l_{3} m_{2}\right) \sum m x y= \\
=\frac{1}{2} l_{2} l_{3}(B+C-A)+\frac{1}{2} m_{2} m_{3}(C+A-B)+\frac{1}{2} n_{2} n_{3}(A+B-C)+ \\
+\left(m_{2} n_{3}+m_{3} n_{2}\right) F+\left(n_{2} l_{3}+n_{3} l_{2}\right) G+\left(l_{2} m_{3}+l_{3} m_{2}\right) H
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{c}
-F^{\prime}=A l_{2} l_{3}+B m_{2} m_{3}+C n_{2} n_{3}- \\
-F\left(m_{2} n_{3}+m_{3} n_{2}\right)-G\left(l_{3} n_{2}+l_{2} n_{3}\right)-H\left(l_{2} m_{3}+l_{3} m_{2}\right)
\end{array}
\]

и, соответственно,
\[
\begin{array}{c}
-G^{\prime}=A l_{3} l_{1}+B m_{3} m_{1}+C n_{3} n_{1}- \\
-F\left(m_{3} n_{1}+m_{1} n_{3}\right)-G\left(l_{1} n_{3}+l_{3} n_{1}\right)-H\left(l_{3} m_{1}+l_{1} m_{3}\right) \\
-H^{\prime}=A l_{1} l_{2}+B m_{1} m_{2}+C n_{1} n_{2}- \\
-F\left(m_{1} n_{2}+m_{2} n_{1}\right)-G\left(l_{2} n_{1}+l_{1} n_{2}\right)-H\left(l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, величины $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, F^{\prime}, G^{\prime}, H^{\prime}$ определены. Этот результат, вместе с выводами предыдущего параграфа, позволяет определять моменты инерции и девиации заданного тела относительно произвольной прямоугольной системы осей, если эти моменты известны относительно некоторой другой прямоугольной системы.

ЗАДАчА 1. Пусть начало координат находится в центре тяжести материальной системы. Доказать, что моменты инерции и девиации относительно трех взаимно перпендикулярных, пересекающихся прямых с координатами
\[
\left(l_{1}, m_{1}, n_{1}, \lambda_{1}, \mu_{1},
u_{1}\right),\left(l_{2}, m_{2}, n_{2}, \lambda_{2}, \mu_{2},
u_{2}\right),\left(l_{3}, m_{3}, n_{3}, \lambda_{3}, \mu_{3},
u_{3}\right)
\]

имеют вид:
\[
A^{\prime}+M\left(\lambda_{1}^{2}+\mu_{1}^{2}+
u_{1}^{2}\right) \text { и т. д. и } F^{\prime}-M\left(\lambda_{2} \lambda_{3}+\mu_{2} \mu_{3}+
u_{2}
u_{3}\right) \text { и т. д., }
\]

где $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, F^{\prime}, G^{\prime}, H^{\prime}$ имеют те же значения, что и выше, а $M$ есть масса тела.