В $\S 42$ мы показали, что, используя интеграл энергии, можно понизить порядок лагранжевой системы уравнений движения консервативной голономной системы. Мы хотим теперь доказать аналогичную теорему и относительно систем уравнений движений в форме Гамильтона.

Допустим, что функция Гамильтона $H$ какой-нибудь динамической системы с $n$ степенями свободы не содержит явно времени, так что интеграл энергии имеет вид:
\[
H+h=0
\]

где $h$ – некоторая постоянная.
Разрешив это уравнение относительно $p_{1}$, представим его в виде:
\[
p_{1}+K\left(p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, h\right)=0 .
\]

Системе соответствует дифференциальная форма
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\cdots+p_{n} d q_{n}+h d t,
\]

переменные которой $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ связаны предыдущим уравнением. Поэтому эта дифференциальная форма преобразуется в форму: $p_{2} d q_{2}+p_{3} d q_{3}+\cdots+p_{n} d q_{n}+h d t-K\left(p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots\right.$, $\left.q_{n}, h\right) d q_{1}$ с $2 n+1$ переменными $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, h, t$.

Но этой форме соответствуют ( $\S 137$ ) дифференциальные уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d q_{r}}{d q_{1}}=\frac{\partial K}{\partial p_{r}}, \frac{d p_{r}}{d q_{1}}=-\frac{\partial K}{\partial q_{r}}, \quad(r=2,3, \ldots, n), \\
\frac{d t}{d q_{1}}=\frac{\partial K}{\partial h}, \frac{d h}{d q_{1}}=0 .
\end{array}
\]

Последние два уравнения могут быть отделены от остальных, ибо первые $2 n-2$ уравнений не содержат явно времени, и $h$ является постоянной. Первоначальные дифференциальные уравнения могут быть, следовательно, заменены системой:
\[
\frac{d q_{r}}{d q_{1}}=\frac{\partial K}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d q_{1}}=-\frac{\partial K}{\partial p_{r}}, \quad(r=2,3, \ldots, n)
\]

с $n-1$ степенями свободы.
Этот результат, как это может быть показано непосредственным преобразованием, эквивалентен результату, полученному в § 139 .

ЗадАчА 1. Рассмотрим систему уравнений:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}}, \quad(r=1,2),
\]

где
\[
H=\frac{1}{2} p_{2}^{2}+\frac{1}{2 q_{2}^{2}} p_{1}^{2}-\frac{\mu}{2 q_{2}^{2}},
\]

а $\mu$ – некоторая постоянная. Легко видеть, что они являются уравнениями движения материальной точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной третьей степени расстояния. Переменные $q_{2}$ и $q_{1}$ представляют собой полярные координаты (радиус-вектор и полярный угол) материальной точки относительно притягивающего центра.

Положим $H=-h$ и приведем систему при помощи предыдущей теоремы к виду:
\[
\frac{d q_{2}}{d q_{1}}=\frac{\partial K}{\partial p_{2}}, \quad \frac{d p_{2}}{d q_{1}}=-\frac{\partial K}{\partial q_{2}},
\]

где
\[
K=-\left(\mu-q_{2}^{2} p_{2}^{2}-2 h q_{2}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} .
\]

Так как $K$ не содержит явно координаты $q_{1}$, то последняя система имеет интеграл $K=$ const. Поэтому мы можем повторить предыдущую операцию. Полагая $K=-k$, получим:
\[
p_{2}=\left(\frac{\mu-k^{2}}{q_{2}^{2}}-2 h\right)^{\frac{1}{2}}=-L .
\]

Следовательно, система приводится к единственному уравнению:
\[
\frac{d q_{1}}{d q_{2}}=\frac{\partial L}{\partial k}=\frac{k}{q_{2}^{2}}\left(\frac{\mu-k^{2}}{q_{2}^{2}}-2 h\right)^{-\frac{1}{2}},
\]

интеграл которого (предполагая $\mu<k^{2}$ ) имеет вид:
\[
q_{2}=\left(k^{2}-\mu\right)^{\frac{1}{2}}(-2 h)^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{\cos \left\{\left(1-\frac{\mu}{k^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(q_{1}+\varepsilon\right)\right\}},
\]

где $\varepsilon$ – произвольная постоянная. Полученное уравнение определяет траектории в полярных координатах.