Приведем теперь полученную в предыдущем параграфе систему двенадцатого порядка к системе восьмого порядка при помощи интеграла энергии и исключения узла.

Преобразуем переменные при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
$$q_r=\frac{\partial W}{\partial p_r},p_r^{\prime }=\frac{\partial W}{\partial q_r^{\prime }}(r=1,2,\dots ,6),$$

где
$$\begin{array}{rl}W& =p_1(q_1^{\prime }\cos q_5^{\prime }-q_2^{\prime }\cos q_6^{\prime }\sin q_5^{\prime })+p_2(q_1^{\prime }\sin q_5^{\prime }+\\ & +q_2^{\prime }\cos q_6^{\prime }\cos q_5^{\prime })+p_3{q}_2^{\prime }\sin q_6^{\prime }+p_4(q_3^{\prime }\cos q_5^{\prime }-q_4^{\prime }\cos q_6^{\prime }\sin q_5^{\prime })+\\ & +p_5(q_3^{\prime }\sin q_5^{\prime }+q_4^{\prime }\cos q_6^{\prime }\cos q_5^{\prime })+p_6{q}_4^{\prime }\sin q_6^{\prime }\end{array}$$

Новым переменным можно придать следующее простое физическое истолкование:

Выберем кроме неподвижных осей $Оxyz$ еще систему подвижных осей $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$. Ось $O{x}^{\prime }$ направим по линии узлов, т. е. прямой пересечения плоскости $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$ с плоскостью трех тел, ось $O{y}^{\prime }$ — по перпендикуляру к $O{x}^{\prime }$ в плоскости трех тел и ось $O{z}^{\prime }$ — по нормали к этой плоскости. Тогда $q_1^{\prime },q_2^{\prime }$ будут координатами $m_1$ относительно осей, проходящих через $m_3$ параллельно осям $O{x}^{\prime },O{y}^{\prime };q_3^{\prime },q_4^{\prime }$ будут координатами $m_2$ относительно тех же осей; $q_5^{\prime }$ будет углом между $O{x}^{\prime }$ и $Ox,q_6^{\prime }$ углом между $O{z}^{\prime }$ и $Oz;p_1^{\prime }$ и $p_2^{\prime }$ будут компонентами количества движения $m_1$ относительно осей $O{x}^{\prime },O{y}^{\prime };p_3^{\prime },p_4^{\prime }$ будут компонентами количества движения $m_2$ относительно тех же осей, $p_5^{\prime },p_6^{\prime }$ — моментами количества движения всей системы относительно осей $Oz$ и $O{x}^{\prime }$.
Уравнениями движения в новых координатах (§138) будут:
$$\frac{d{q}_r^{\prime }}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r^{\prime }},\frac{d{p}_r^{\prime }}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r^{\prime }}(r=1,2,\dots ,6),$$

где функция $H$, выраженная в новых переменных, имеет вид:
$$\begin{array}{rl}H& =(\frac{1}{2m_1}+\frac{1}{2m_3})[{p^{\prime }}_1^2+{p^{\prime }}_2^2+\frac{1}{{(q_2^{\prime }{q}_3^{\prime }-q_1^{\prime }{q}_4^{\prime })}^2}\{(p_1^{\prime }{q}_2^{\prime }-p_2^{\prime }{q}_1^{\prime }+\\ & {+p_3^{\prime }{q}_4^{\prime }-p_4^{\prime }{q}_3^{\prime })q_4^{\prime }\mathrm{ctg}{q}_6^{\prime }+\frac{p_5^{\prime }{q}_4^{\prime }}{\sin q_6^{\prime }}+p_6^{\prime }{q}_3^{\prime }\}}^2]+\\ & +(\frac{1}{2m_2}+\frac{1}{2m_3})[{p^{\prime }}_3^2+{p^{\prime }}_4^2+\frac{1}{{(q_2^{\prime }{q}_3^{\prime }-q_1^{\prime }{q}_4^{\prime })}^2}\{(p_1^{\prime }{q}_2^{\prime }-p_2^{\prime }{q}_1^{\prime }+\\ & {+p_3^{\prime }{q}_4^{\prime }-p_4^{\prime }{q}_3^{\prime })q_2^{\prime }\mathrm{ctg}{q}_6^{\prime }+\frac{p_5^{\prime }{q}_2^{\prime }}{\sin q_6^{\prime }}+p_6^{\prime }{q}_1^{\prime }\}}^2]+\frac{1}{m_3}[p_1^{\prime }{p}_3^{\prime }+p_2^{\prime }{p}_4^{\prime }-\\ & -\frac{1}{{(q_2^{\prime }{q}_3^{\prime }-q_1^{\prime }{q}_4^{\prime })}^2}\{(p_1^{\prime }{q}_2^{\prime }-p_2^{\prime }{q}_1^{\prime }+p_3^{\prime }{q}_4^{\prime }-p_4^{\prime }{q}_3^{\prime })q_4^{\prime }\mathrm{ctg}{q}_6^{\prime }+\\ & +\frac{p_5^{\prime }{q}_4^{\prime }}{\sin q_6^{\prime }}+p_6^{\prime }{q}_3^{\prime }\}\{(p_1^{\prime }{q}_2^{\prime }-p_2^{\prime }{q}_1^{\prime }+p_3^{\prime }{q}_4^{\prime }-p_4^{\prime }{q}_3^{\prime })q_2^{\prime }\mathrm{ctg}{q}_6^{\prime }+\\ & +\frac{p_5^{\prime }{q}_2^{\prime }}{\sin q_6^{\prime }}+p_6^{\prime }{q}_1^{\prime }\}]-m_2{m}_3{(q_3^{\prime 2}+{q^{\prime }}_4^2)}^{-\frac{1}{2}}-m_3{m}_1{(q_1^{\prime 2}+{q^{\prime }}_2^2)}^{-\frac{1}{2}}-\\ & -m_1{m}_2{\{{(q_1^{\prime }-q_3^{\prime })}^2+{(q_2^{\prime }-q_4^{\prime })}^2\}}^{-\frac{1}{2}}\end{array}$$

Координата $q_5^{\prime }$, не входящая явно в $H$, является циклической. Ей соответствует интеграл:
$$p_5^{\prime }=k,$$

где $k$ — постоянная.
Уравнение $\frac{d{q}_5^{\prime }}{dt}=\frac{\partial H}{\partial k}$ может быть проинтегрировано простой квадратурой, если выполнено интегрирование всех остальных уравнений. Следовательно, уравнения для $q_5^{\prime }$ и $p_5^{\prime }$ из системы выпадают, и она приводится к системе десятого порядка:
$$\frac{d{q}_r^{\prime }}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r^{\prime }},\frac{d{p}_r^{\prime }}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r^{\prime }}(r=1,2,3,4,5,6),$$

где всюду в $H$ величина $p_5^{\prime }$ должна быть заменена постоянной $k$.
Мы использовали пока только один из интегралов моментов (а именно $p_5^{\prime }=k$ ) и исключение узла. Оба остальных интеграла моментов в новых переменных принимают вид:
$$\begin{array}{r}(p_2^{\prime }{q}_1^{\prime }-p_1^{\prime }{q}_2+p_4^{\prime }{q}_3^{\prime }-p_3^{\prime }{q}_4^{\prime })\frac{\sin q_5^{\prime }}{\sin q_6^{\prime }}+k\sin q_5^{\prime }\mathrm{ctg}{q}_6^{\prime }+p_6^{\prime }\cos q_5^{\prime }=A_1,\\ -(p_2^{\prime }{q}_1^{\prime }-p_1^{\prime }{q}_2+p_4^{\prime }{q}_3^{\prime }-p_3^{\prime }{q}_4^{\prime })\frac{\cos q_5^{\prime }}{\sin q_6^{\prime }}+k\cos q_5^{\prime }\mathrm{ctg}{q}_6^{\prime }+p_6^{\prime }\sin q_5^{\prime }=A_2.\end{array}$$

Значения постоянных $A_1,A_2$ зависят от положения неподвижных осей $Oxyz$. Направим ось $Oz$ по главному моменту количества движения системы. Тогда $A_1$ и $A_2$ обращаются в нуль (§69). Введенная таким образом плоскость $Oxy$ называется неизменяемой плоскостью системы. Последние два уравнения переходят теперь в
$$\begin{array}{c}k\cos q_6^{\prime }=p_2^{\prime }{q}_1^{\prime }-p_1^{\prime }{q}_2^{\prime }+p_4^{\prime }{q}_3^{\prime }-p_3^{\prime }{q}_4^{\prime },\\ p_6^{\prime }=0.\end{array}$$

Эти уравнения определяют $q_6^{\prime }$ и $p_6^{\prime }$ как функции переменных и могут поэтому заменить уравнения:
$$\frac{d{q}_6^{\prime }}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_6^{\prime }},\frac{d{p}_6^{\prime }}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_6^{\prime }}.$$

Система переходит, таким образом, в
$$\frac{d{q}_r^{\prime }}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r^{\prime }},\frac{d{p}_r^{\prime }}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r^{\prime }}(r=1,2,3,4),$$

где
$$\begin{array}{l}H=(\frac{1}{2m_1}+\frac{1}{2m_3})[{p^{\prime }}_1^2+{p^{\prime 2}}_2^2+\\ +\frac{q_4^{\prime 2}}{{(q_2^{\prime }{q}_3^{\prime }-q_1^{\prime }{q}_4^{\prime })}^2}{\{(p_1^{\prime }{q}_2^{\prime }-p_2^{\prime }{q}_1^{\prime }+p_3^{\prime }{q}_4^{\prime }-p_4^{\prime }{q}_3^{\prime })\mathrm{ctg}{q}_6^{\prime }+\frac{k}{\sin q_6^{\prime }}\}}^2]+\\ +(\frac{1}{2m_2}+\frac{1}{2m_3})[{p^{\prime }}_3^2+{p^{\prime 2}}_4^2+\\ +\frac{{q^{\prime }}_2^2}{{(q_2^{\prime }{q}_3^{\prime }-q_1^{\prime }{q}_4^{\prime })}^2}{\{(p_1^{\prime }{q}_2^{\prime }-p_2^{\prime }{q}_1^{\prime }+p_3^{\prime }{q}_4^{\prime }-p_4^{\prime }{q}_3^{\prime })\mathrm{ctg}{q}_6^{\prime }+\frac{k}{\sin q_6^{\prime }}\}}^2]+\\ +\frac{1}{m_3}[p^{\prime }{}_1{p}^{\prime }{}_3+p^{\prime }{}_2{p}^{\prime }{}_4-\\ -\frac{q_2^{\prime }{q}_4^{\prime }}{{(q_2^{\prime }{q}_3^{\prime }-q_1^{\prime }{q}_4^{\prime })}^2}{\{(p_1^{\prime }{q}_2^{\prime }-p_2^{\prime }{q}_1^{\prime }+p_3^{\prime }{q}_4^{\prime }-p_4^{\prime }{q}_3^{\prime })\mathrm{ctg}{q}_6^{\prime }+\frac{k}{\sin q_6^{\prime }}\}}^2]-\\ -m_2{m}_3{({q^{\prime }}_3^2+{q^{\prime }}_4^2)}^{-\frac{1}{2}}-m_3{m}_1{({q^{\prime }}_1^2+{q^{\prime }}_2^2)}^{-\frac{1}{2}}-\\ -m_1{m}_2{\{{(q_1^{\prime }-q_3^{\prime })}^2+{(q_2^{\prime }-q_4^{\prime })}^2\}}^{-\frac{1}{2}}\text{. }\end{array}$$

Здесь $q_6^{\prime }$ должна быть заменена ее значением, определяемым из уравнения:
$$k\cos q_6^{\prime }=p_2^{\prime }{q}_1^{\prime }-p_1^{\prime }{q}_2^{\prime }+p_4^{\prime }{q}_3^{\prime }-p_3^{\prime }{q}_4^{\prime },$$

после того как взяты производные от $H$.
Обозначим через $H^{\prime }$ функцию, в которую переходит $H$ после замены в ней $q_6^{\prime }$ вышеуказанным значением. Тогда, если обозначим через $s$ одну из переменных $q_1^{\prime },q_2^{\prime },q_3^{\prime },q_4^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime },p_3^{\prime },p_4^{\prime }$, будем иметь:
$$\frac{\partial H^{\prime }}{\partial s}=\frac{\partial H}{\partial s}+\frac{\partial H}{\partial q_6^{\prime }}\frac{\partial q_6^{\prime }}{\partial s}$$

Но так как $p_6^{\prime }=0$, то $\frac{\partial H}{\partial q_6^{\prime }}=p_6^{\prime }=0$ и, следовательно,
$$\frac{\partial H^{\prime }}{\partial s}=\frac{\partial H}{\partial s}$$

Другими словами: мы можем ввести в $H$ значение $q_6^{\prime }$ до того, как взяты производные от $H$. Поэтому, опуская вновь штрихи, мы приведем уравнения движения задачи трех тел к системе восьмого порядка:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,3,4),$$

где
$$\begin{array}{rl}H& =(\frac{1}{2m_1}+\frac{1}{2m_3})(p_1^2+p_2^2)+(\frac{1}{2m_2}+\frac{1}{2m_3})(p_3^2+p_4^2)+\\ & +\frac{1}{m_3}(p_1{p}_3+p_2{p}_4)+\\ & +{(q_2{q}_3-q_1{q}_4)}^{-2}\{(\frac{1}{2m_1}+\frac{1}{2m_3})q_4^2+(\frac{1}{2m_2}+\frac{1}{2m_3})q_2^2-\frac{q_2{q}_4}{m_3}\}\times \\ & \times \{k^2-{(p_2{q}_1-p_1{q}_2+p_4{q}_3-p_3{q}_4)}^2\}-m_2{m}_3{(q_3^2+q_4^2)}^{-\frac{1}{2}}-\\ & -m_3{m}_1{(q_1^2+q_2^2)}^{-\frac{1}{2}}-m_1{m}_2{\{{(q_1-q_3)}^2+{(q_2-q_4)}^2\}}^{-\frac{1}{2}}.\end{array}$$

Некоторые из величин, входящих в $H$, имеют простое физическое значение. Так, например, величина $q_2{q}_3-q_1{q}_4$ равна удвоенной площади треугольника, образованного телами. Далее,
$$\frac{2m_1{m}_2{m}_3}{m_1+m_2+m_3}\{(\frac{1}{2m_1}+\frac{1}{2m_3})q_4^2+(\frac{1}{2m_2}+\frac{1}{2m_3})q_2^2-\frac{1}{m_3}{q}_2{q}_4\}$$

есть момент инерции системы относительно прямой пересечения неизменяемой плоскости с плоскостью тел.

Заметим еще, что $H$ отличается от своего значения при $k=0$ только членами, не содержащими $p_1,p_2,p_3,p_4$. Эти члены в $H$ мы можем рассматривать как составную часть потенциальной энергии. Следовательно, система отличается от системы с $k=0$ только значением потенциальной энергии. Легко показать, что при $k=0$ движение происходит в плоскости.