По предыдущему параграфу кинетическую энергию движущегося тела можно подразделить на две части, из которых одна зависит от движения центра тяжести, а другая представляет кинетическую энергию в движении относительно центра тяжести. Докажем теперь, что обе части движения тела можно рассматривать независимо друг от друга ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Euler Scientia Navalis, т. $1, \S 128,1749$.

Пусть твердое тело массы $M$ движется под действием произвольных сил. Положение тела пусть определяется тремя координатами центра тяжести $x, y, z$ по отношению к неподвижным в пространстве осям, и тремя углами Эйлера $\vartheta, \varphi, \psi$, определяющими положение произвольной прямоугольной системы осей, связанных с телом, относительно неподвижной системы, имеющей то же начало. Кинетическая энергия тогда выразится так:
\[
T=\frac{1}{2} M\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+f(\vartheta, \varphi, \psi, \dot{\vartheta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi}),
\]

где $f(\vartheta, \varphi, \psi, \dot{\vartheta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi})$ есть кинетическая энергия движения тела относительно центра тяжести $G$.
Пусть
\[
X \delta x+Y \delta y+Z \delta z+\Theta \delta \vartheta+\Phi \delta \varphi+\Psi \delta \psi
\]

есть работа приложенных к телу внешних сил на произвольном перемещении тела.
Уравнениями движения Лагранжа будут:
\[
\begin{array}{l}
M \ddot{x}=X, \quad M \ddot{y}=Y, \quad M \ddot{z}=Z, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{\vartheta}}\right)-\frac{\partial f}{\partial \vartheta}=\Theta, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{\varphi}}\right)-\frac{\partial f}{\partial \varphi}=\Phi, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{\psi}}\right)-\frac{\partial f}{\partial \psi}=\Psi . \\
\end{array}
\]

Три первых уравнения показывают, что центр тяжести тела движется так, как будто в нем сконцентрирована вся масса тела, а силы, действующие на него, равны внешним силам, действующим на тело, и одинаково с ними направлены. Это можно заключить из того, что работа этих сил на произвольном перемещении в случае, если вся масса сосредоточена в центре тяжести, равна $X \delta x+Y \delta y+Z \delta z$.

Из трех остальных уравнений следует, что тело движется вокруг центра тяжести так, как будто центр тяжести удерживается неподвижно и на тело действует та же система сил. Это потому, что при движении тела относительно центра тяжести его кинетическая энергия есть $f(\vartheta, \varphi, \psi, \dot{\vartheta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi})$ и работа сил на произвольном перемещении равна $\Theta \delta \vartheta+\Phi \delta \varphi+\Psi \delta \psi$.

Очевидно, этот результат справедлив и для импульсивных движений.
ДоБАВЛЕНИЕ. Плоское твердое тело (например пластинка любой формы) движется в своей плоскости. Пусть $x, y$ – координаты его центра тяжести; $M$ – масса; $\vartheta$ – угол, образованный прямой, неизменно связанной с телом, с прямой, закрепленной в плоскости, $M k^{2}$ – момент инерции тела относительно центра тяжести; $X, Y$ – суммы компонентов по осям координат всех действующих на тело внешних сил и, наконец, $L$ – момент внешних сил относительно центра тяжести. Тогда кинетическая энергия будет равна:
\[
\frac{1}{2} M\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+k^{2} \dot{\vartheta}^{2}\right),
\]

а работа внешних сил при перемещении ( $\delta x, \delta y, \delta \vartheta)$ :
\[
X \delta x+Y \delta y+L \delta \vartheta .
\]

Поэтому уравнения движения имеют вид:
\[
M \ddot{x}=X, \quad M \ddot{y}=Y, \quad M k^{2} \ddot{\vartheta}=L .
\]

ЗАДАчА 1. Представить одно из уравнений движения плоского твердого тела в виде:
\[
M\left(p f+k^{2} \ddot{\vartheta}\right)=L,
\]

где $M$ – масса тела; $f$ – ускорение центра тяжести; $p$ – перпендикуляр на вектор ускорения из начала координат; $M k^{2}$ – момент инерции относительно начала: $\vartheta$ – угол между неподвижной в теле прямой и прямой, закрепленной в плоскости, а $L$ – момент внешних сил относительно начала координат.