По предыдущему параграфу кинетическую энергию движущегося тела можно подразделить на две части, из которых одна зависит от движения центра тяжести, а другая представляет кинетическую энергию в движении относительно центра тяжести. Докажем теперь, что обе части движения тела можно рассматривать независимо друг от друга ${}^1$.
${}^1$ Euler Scientia Navalis, т. $1,\mathrm{\S }128,1749$.

Пусть твердое тело массы $M$ движется под действием произвольных сил. Положение тела пусть определяется тремя координатами центра тяжести $x,y,z$ по отношению к неподвижным в пространстве осям, и тремя углами Эйлера $\vartheta ,\phi ,\psi$, определяющими положение произвольной прямоугольной системы осей, связанных с телом, относительно неподвижной системы, имеющей то же начало. Кинетическая энергия тогда выразится так:
$$T=\frac{1}{2}M({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)+f(\vartheta ,\phi ,\psi ,\dot{\vartheta },\dot{\phi },\dot{\psi }),$$

где $f(\vartheta ,\phi ,\psi ,\dot{\vartheta },\dot{\phi },\dot{\psi })$ есть кинетическая энергия движения тела относительно центра тяжести $G$.
Пусть
$$X\delta x+Y\delta y+Z\delta z+\mathrm{\Theta }\delta \vartheta +\mathrm{\Phi }\delta \phi +\mathrm{\Psi }\delta \psi$$

есть работа приложенных к телу внешних сил на произвольном перемещении тела.
Уравнениями движения Лагранжа будут:
$$\begin{array}{l}M\ddot{x}=X,M\ddot{y}=Y,M\ddot{z}=Z,\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{\vartheta }}\right)-\frac{\partial f}{\partial \vartheta }=\mathrm{\Theta },\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{\phi }}\right)-\frac{\partial f}{\partial \phi }=\mathrm{\Phi },\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{\psi }}\right)-\frac{\partial f}{\partial \psi }=\mathrm{\Psi }.\end{array}$$

Три первых уравнения показывают, что центр тяжести тела движется так, как будто в нем сконцентрирована вся масса тела, а силы, действующие на него, равны внешним силам, действующим на тело, и одинаково с ними направлены. Это можно заключить из того, что работа этих сил на произвольном перемещении в случае, если вся масса сосредоточена в центре тяжести, равна $X\delta x+Y\delta y+Z\delta z$.

Из трех остальных уравнений следует, что тело движется вокруг центра тяжести так, как будто центр тяжести удерживается неподвижно и на тело действует та же система сил. Это потому, что при движении тела относительно центра тяжести его кинетическая энергия есть $f(\vartheta ,\phi ,\psi ,\dot{\vartheta },\dot{\phi },\dot{\psi })$ и работа сил на произвольном перемещении равна $\mathrm{\Theta }\delta \vartheta +\mathrm{\Phi }\delta \phi +\mathrm{\Psi }\delta \psi$.

Очевидно, этот результат справедлив и для импульсивных движений.
ДоБАВЛЕНИЕ. Плоское твердое тело (например пластинка любой формы) движется в своей плоскости. Пусть $x,y$ — координаты его центра тяжести; $M$ — масса; $\vartheta$ — угол, образованный прямой, неизменно связанной с телом, с прямой, закрепленной в плоскости, $M{k}^2$ — момент инерции тела относительно центра тяжести; $X,Y$ — суммы компонентов по осям координат всех действующих на тело внешних сил и, наконец, $L$ — момент внешних сил относительно центра тяжести. Тогда кинетическая энергия будет равна:
$$\frac{1}{2}M({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+k^2{\dot{\vartheta }}^2),$$

а работа внешних сил при перемещении ( $\delta x,\delta y,\delta \vartheta )$ :
$$X\delta x+Y\delta y+L\delta \vartheta .$$

Поэтому уравнения движения имеют вид:
$$M\ddot{x}=X,M\ddot{y}=Y,M{k}^2\ddot{\vartheta }=L.$$

ЗАДАчА 1. Представить одно из уравнений движения плоского твердого тела в виде:
$$M(pf+k^2\ddot{\vartheta })=L,$$

где $M$ — масса тела; $f$ — ускорение центра тяжести; $p$ — перпендикуляр на вектор ускорения из начала координат; $M{k}^2$ — момент инерции относительно начала: $\vartheta$ — угол между неподвижной в теле прямой и прямой, закрепленной в плоскости, а $L$ — момент внешних сил относительно начала координат.