Еще более частным случаем задачи трех тел, занимающим значительное место в новейших исследованиях, является так называемая ограниченная задача трех тел.

Два тела $S$ и $J^{1}$ движутся по круговым траекториям вокруг их общего центра тяжести $O$ под действием сил взаимного притяжения. Третье тело $P$, не обладающее массой, т. е. такое тело, которое само притягивается телами $S$ и $J$, но не влияет на их движение, движется в той же плоскости, что и $P$ с $J$. Ограниченная задача трех тел заключается в определении движения тела $P$, так называемого планетодда.
Обозначим через $m_{1}$ и $m_{2}$ массы $S$ и $J$. Положим:
\[
F=\frac{m_{1}}{S P}+\frac{m_{2}}{J P} .
\]

В плоскости движения выберем неподвижные прямоугольные оси $O x$ и $O y$, выходящие из точки $O$. Пусть $P$ имеет координаты $X, Y$ и компоненты скорости $U$ и $V$. Уравнениями движения тела $P$ будут:
\[
\frac{d^{2} X}{d t^{2}}=\frac{\partial F}{\partial X}, \quad \frac{d^{2} Y}{d t^{2}}=\frac{\partial F}{\partial Y}
\]
${ }^{1}$ Обозначения $S$ и $J$ взяты потому, что вся эта теория имеет своей целью исследование движения планеты очень малой массы, находящейся под действием Солнца и Юпитера, причем действием остальных планет и отклонением Солнца и Юпитера от кругового движения пренебрегается.

или в гамильтоновой форме:
\[
\frac{d X}{d t}=\frac{\partial H}{\partial U}, \quad \frac{d Y}{d t}=\frac{\partial H}{\partial V}, \quad \frac{d U}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial X}, \quad \frac{d V}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial Y},
\]

где
\[
H=\frac{1}{2}\left(U^{2}+V^{2}\right)-F .
\]

Так как $F$ есть функция не только от $X$ и $Y$, но также и от $t$, то уравнение $H$ = const не является интегралом системы.

Преобразуем переменные при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
\[
X=\frac{\partial W}{\partial U}, \quad Y=\frac{\partial W}{\partial V}, \quad u=\frac{\partial W}{\partial x}, \quad v=\frac{\partial W}{\partial y}
\]

где
\[
W=U(x \cos n t-y \sin n t)+V(x \sin n t+y \cos n t),
\]

а $n$ — угловая скорость прямой $S J$. Уравнения движения переходит в
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{\partial K}{\partial u}, \quad \frac{d y}{d t}=\frac{\partial K}{\partial v}, \quad \frac{d u}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial x}, \quad \frac{d v}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial y},
\]

где (§ 138)
\[
K=H-\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{1}{2}\left(u^{2}+v^{2}\right)+n(u y-v x)-F .
\]

Нетрудно видеть, что $x$ и $y$ суть координаты планетоида относительно подвижной системы координат, выбранной таким образом, что ось $x$ направлена по прямой $O J$, а ось $y$ по перпендикуляру, опущенному к ней из точки $O . F$ является теперь функцией только от $x$ и $y$, следовательно, $t$ явно не входит в $K$, и уравнение
\[
K=\text { const }
\]

есть интеграл системы. Этот интеграл называется якобиевым интегралом ${ }^{1}$ ограниченной задачи трех тел.

Мы можем уравнениям движения придать другую форму, если сделаем еще одно контактное преобразование:
\[
x=\frac{\partial W}{\partial u}, \quad y=\frac{\partial W}{\partial v}, \quad p_{1}=\frac{\partial W}{\partial q_{1}}, \quad p_{2}=\frac{\partial W}{\partial q_{2}},
\]

где
\[
W=q_{1}\left(u \cos q_{2}+v \sin q_{2}\right) .
\]
${ }^{1}$ Jacobi, Comptes Rendus, т. 3, стр. 59, 1836.

Новые переменные определяются непосредственно уравнениями:
\[
q_{1}=O P, \quad q_{2}=P O J, \quad p_{1}=\frac{d}{d t}(O P), \quad p_{2}=O P^{2} \frac{d}{d t}(P O X),
\]

и уравнения движения переходят в
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2),
\]

где
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+\frac{p_{2}^{2}}{q_{1}^{2}}\right)-n p_{2}-F .
\]

Другую форму ${ }^{1}$ эти уравнения примут, если мы их преобразуем при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
\[
p_{r}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}}, \quad q_{r}^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial p_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2)
\]

где
\[
W=p_{2}^{\prime} q_{2}+\int_{p_{1}^{\prime}\left\{p_{1}^{\prime}-\left(p_{1}^{\prime 2}-p^{\prime 2}\right)^{\frac{1}{2}}\right\}}^{q_{1}}\left\{-\frac{{p^{\prime}}_{2}^{2}}{u^{2}}+\frac{2}{u}-\frac{1}{{p^{\prime}}_{1}^{2}}\right\}^{\frac{1}{2}} d u,
\]

где $u$ означает переменную интегрирования. Эти уравнения (для контактного преобразования) могут быть написаны также и в таком виде:
${ }^{1}$ Эта форма уравнений дана Пуанкаре в «Methodes Nouvelles de la Mec Celeste».

Нетрудно показать, что $q_{1}^{\prime}$ есть средняя аномалия планетоида на эллипсе, который он описал бы вокруг неподвижного тела с массой 1 , помещенного в точке $O$, если бы ему (планетоиду) в его мгновенном положении была сообщена его мгновенная скорость $q_{2}^{\prime}$ есть измеряемая от $O J$ долгота линии апсид этого эллипса; $p_{1}^{\prime}$ равно $a^{\frac{1}{2}}, p_{2}^{\prime}$ равно $\left\{a\left(1-e^{2}\right)\right\}^{\frac{1}{2}}$, где $a$ — большая полуось эллипса, а $e$ его эксцентриситет. Так как $H$ не содержит явно времени, то $H=$ const есть интеграл уравнений движения, которые имеют теперь вид:
\[
\frac{d q_{r}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2) .
\]

Полагая сумму масс тел $S$ и $J$ равной единице и обозначая эти массы соответственно через $1-\mu$ и $\mu$, будем иметь:
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+\frac{p_{2}^{2}}{q_{1}^{2}}-n p_{2}-\frac{1-\mu}{S P}-\frac{\mu}{J P}\right) .
\]

Эта аналитическая относительно $p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \mu$ функция будет периодической относительно $q_{1}^{\prime}$ и $q_{2}^{\prime}$ с периодом $2 \pi$. Чтобы найти в $H$ член, не зависящий от $\mu$, положим $\mu=\mathbf{0}$. Так как при этом $S P$ делается равным $q_{1}$, то
\[
H=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{q_{1}}-\frac{1}{{p^{\prime 2}}_{1}^{2}}\right)-n p_{2}^{\prime}-\frac{1}{q_{1}}=-\frac{1}{2{p_{1}^{\prime}}_{1}^{2}}-n p_{2}^{\prime} .
\]

Если теперь опять опустить штрихи, то уравнения движения ограниченной задачи трех тел могут быть написаны в виде:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2),
\]

где $H$ может быть разложена в ряд:
\[
H=H_{0}+\mu H_{1}+\mu^{2} H_{2}+\cdots,
\]

в котором
\[
H_{0}—\frac{1}{2 p_{1}^{2}}-n p_{2},
\]

а $H_{1}$ и $H_{2}$ суть некоторые периодические относительно $q_{1}$ и $q_{2}$ функции с периодом, равным $2 \pi$.

Уравнения этой системы четвертого порядка могут быть приведены к системе Гамильтона второго порядка при помощи интеграла энергии $H=$ const и исключения времени.