Если на систему действуют внешние силы сопротивления, прямо пропорциональные скоростям точек приложения, то уравнения движения такой системы могут быть выражены при помощи кинетической энергии, потенциальной энергии и одной новой функции.

Рассмотрим какую-нибудь точку системы, масса которой равна $m$, а координаты суть $x,y,z$. Пусть потеря энергии системы при перемещении ( $\delta x,\delta y,\delta z$ ) этой точки вследствие приложенной к ней силы сопротивления равняется
$$k_x\dot{x}\delta x+k_y\dot{y}\delta y+k_z\dot{z}\delta z,$$

где $k_x,k_y,k_z$ суть функции только от $x,y,z$. Тогда уравнениями движения этой точки будут:
$$\begin{array}{l}m\ddot{x}=-k_x\dot{x}+X,\\ m\ddot{y}=-k_y\dot{y}+Y,\\ m\ddot{z}=-k_z\dot{z}+Z,\end{array}$$

где $X,Y,Z$ — компоненты результирующей всех действующих на точку сил (внешних и внутренних) за исключением сопротивления.
Введем функцию $F$, определяемую равенством:
$$F=\frac{1}{2}\sum (k_x{\dot{x}}^2+k_y{\dot{y}}^2+k_z{\dot{z}}^2),$$

где суммирование распространяется на все точки системы. Эта функция рассеяния $F$ выражает скорость убывания энергии системы вследствие наличия сил сопротивления.

Умножая соответственно уравнения движения точки $m$ на $\frac{\partial x}{\partial q_r}$, $\frac{\partial y}{\partial q_r},\frac{\partial z}{\partial q_r}$, где $q_1,q_2,\dots ,q_n$ — координаты системы, и суммируя по всем точкам системы, получим:
$$\begin{array}{rl}\sum m(\ddot{x}\frac{\partial x}{\partial q_r}+\ddot{y}\frac{\partial y}{\partial q_r}+\ddot{z}\frac{\partial z}{\partial q_r})& =-\sum (k_x\dot{x}\frac{\partial x}{\partial q_r}+k_y\dot{y}\frac{\partial y}{\partial q_r}+k_z\dot{z}\frac{\partial z}{\partial q_r})+\\ & +\sum (X\frac{\partial x}{\partial q_r}+Y\frac{\partial y}{\partial q_r}+Z\frac{\partial z}{\partial q_r}).\end{array}$$

Так же как и в $\mathrm{\S }26$ :
$$\sum m(\ddot{x}\frac{\partial x}{\partial q_r}+\ddot{y}\frac{\partial y}{\partial q_r}+\ddot{z}\frac{\partial z}{\partial q_r})=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial q_r}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_r},$$

где $T$ — кинетическая энергия, и
$$\sum (X\frac{\partial x}{\partial q_r}+Y\frac{\partial y}{\partial q_r}+Z\frac{\partial z}{\partial q_r})=Q_r,$$

где $Q_1\delta q_1+Q_2\delta q_2+\cdots +Q_n\delta q_n$ — работа внешних сил (за исключением сил сопротивления) при любом бесконечно малом перемещении, а
$$\begin{array}{rl}—& \sum (k_x\dot{x}\frac{\partial x}{\partial q_r}+k_y\dot{y}\frac{\partial y}{\partial q_r}+k_z\dot{z}\frac{\partial z}{\partial q_r})=\\ =& -\sum (k_x\dot{x}\frac{\partial \dot{x}}{\partial {\dot{q}}_r}+k_y\dot{y}\frac{\partial \dot{y}}{\partial {\dot{q}}_r}+k_z\dot{z}\frac{\partial \dot{z}}{\partial {\dot{q}}_r})=-\frac{\partial F}{\partial {\dot{q}}_r}.\end{array}$$

Таким образом, уравнения движения системы в коордиатах $q_1$, $q_2,\dots ,q_n$ могут быть представлены в виде:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_r}+\frac{\partial F}{\partial {\dot{q}}_r}=Q_r(r=1,2,\dots ,n).$$

ЗадАчА 1. Пусть силы сопротивления зависят только от относительных (а не абсолютных) скоростей точек приложения, так что силы, действующие на две точки $(x_1,y_1,z_1)$ и $(x_2,y_2,z_2)$, имеют компоненты:
$$-k_x({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2),-k_y({\dot{y}}_1-{\dot{y}}_2),-k_z({\dot{z}}_1-{\dot{z}}_2)$$

и
$$-k_x({\dot{x}}_2-{\dot{x}}_1),-k_y({\dot{y}}_2-{\dot{y}}_1),-k_z({\dot{z}}_2-{\dot{z}}_1)$$

Показать, что уравнения движения в обобщенных координатах могут быть выражены при помощи функции рассеяния вида:
$$\frac{1}{2}\sum \{k_x{({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_2)}^2+k_y{({\dot{y}}_1-{\dot{y}}_2)}^2+k_z{({\dot{z}}_1-{\dot{z}}_2)}^2\}.$$