Если на систему действуют внешние силы сопротивления, прямо пропорциональные скоростям точек приложения, то уравнения движения такой системы могут быть выражены при помощи кинетической энергии, потенциальной энергии и одной новой функции.

Рассмотрим какую-нибудь точку системы, масса которой равна $m$, а координаты суть $x, y, z$. Пусть потеря энергии системы при перемещении ( $\delta x, \delta y, \delta z$ ) этой точки вследствие приложенной к ней силы сопротивления равняется
\[
k_{x} \dot{x} \delta x+k_{y} \dot{y} \delta y+k_{z} \dot{z} \delta z,
\]

где $k_{x}, k_{y}, k_{z}$ суть функции только от $x, y, z$. Тогда уравнениями движения этой точки будут:
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{x}=-k_{x} \dot{x}+X, \\
m \ddot{y}=-k_{y} \dot{y}+Y, \\
m \ddot{z}=-k_{z} \dot{z}+Z,
\end{array}
\]

где $X, Y, Z$ — компоненты результирующей всех действующих на точку сил (внешних и внутренних) за исключением сопротивления.
Введем функцию $F$, определяемую равенством:
\[
F=\frac{1}{2} \sum\left(k_{x} \dot{x}^{2}+k_{y} \dot{y}^{2}+k_{z} \dot{z}^{2}\right),
\]

где суммирование распространяется на все точки системы. Эта функция рассеяния $F$ выражает скорость убывания энергии системы вследствие наличия сил сопротивления.

Умножая соответственно уравнения движения точки $m$ на $\frac{\partial x}{\partial q_{r}}$, $\frac{\partial y}{\partial q_{r}}, \frac{\partial z}{\partial q_{r}}$, где $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ — координаты системы, и суммируя по всем точкам системы, получим:
\[
\begin{aligned}
\sum m\left(\ddot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+\ddot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+\ddot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right) & =-\sum\left(k_{x} \dot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+k_{y} \dot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+k_{z} \dot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right)+ \\
& +\sum\left(X \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+Y \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+Z \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right) .
\end{aligned}
\]

Так же как и в $\S 26$ :
\[
\sum m\left(\ddot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+\ddot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+\ddot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right)=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}},
\]

где $T$ — кинетическая энергия, и
\[
\sum\left(X \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+Y \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+Z \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right)=Q_{r},
\]

где $Q_{1} \delta q_{1}+Q_{2} \delta q_{2}+\cdots+Q_{n} \delta q_{n}$ — работа внешних сил (за исключением сил сопротивления) при любом бесконечно малом перемещении, а
\[
\begin{aligned}
— & \sum\left(k_{x} \dot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+k_{y} \dot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+k_{z} \dot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right)= \\
= & -\sum\left(k_{x} \dot{x} \frac{\partial \dot{x}}{\partial \dot{q}_{r}}+k_{y} \dot{y} \frac{\partial \dot{y}}{\partial \dot{q}_{r}}+k_{z} \dot{z} \frac{\partial \dot{z}}{\partial \dot{q}_{r}}\right)=-\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{r}} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, уравнения движения системы в коордиатах $q_{1}$, $q_{2}, \ldots, q_{n}$ могут быть представлены в виде:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{r}}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

ЗадАчА 1. Пусть силы сопротивления зависят только от относительных (а не абсолютных) скоростей точек приложения, так что силы, действующие на две точки $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$, имеют компоненты:
\[
-k_{x}\left(\dot{x}_{1}-\dot{x}_{2}\right), \quad-k_{y}\left(\dot{y}_{1}-\dot{y}_{2}\right), \quad-k_{z}\left(\dot{z}_{1}-\dot{z}_{2}\right)
\]

и
\[
-k_{x}\left(\dot{x}_{2}-\dot{x}_{1}\right), \quad-k_{y}\left(\dot{y}_{2}-\dot{y}_{1}\right), \quad-k_{z}\left(\dot{z}_{2}-\dot{z}_{1}\right)
\]

Показать, что уравнения движения в обобщенных координатах могут быть выражены при помощи функции рассеяния вида:
\[
\frac{1}{2} \sum\left\{k_{x}\left(\dot{x}_{1}-\dot{x}_{2}\right)^{2}+k_{y}\left(\dot{y}_{1}-\dot{y}_{2}\right)^{2}+k_{z}\left(\dot{z}_{1}-\dot{z}_{2}\right)^{2}\right\} .
\]