Главная > АНАЛИТИЧИСКАЯ ДИНАМИКА (Э.УИТТЕКЕР)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Особый класс динамических систем, разрешаемых в квадратурах, образуют системы, для которых кинетическая и потенциальные энергии имеют частный вид:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} v_{1}\left(q_{1}\right) \dot{q}_{1}^{2}+\frac{1}{2} v_{2}\left(q_{2}\right) \dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\frac{1}{2} v_{n}\left(q_{n}\right) \dot{q}_{n}^{2}, \\
V & =\omega_{1}\left(q_{1}\right)+\omega_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+\omega_{n}\left(q_{n}\right),
\end{aligned}
\]

где $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}, w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}$ – произвольные функции их аргументов. Тогда кинетический потенциал распадается на сумму членов, из которых каждый зависит только от одной переменной и ее производной.
В этом случае уравнениями Лагранжа будут:
\[
\frac{d}{d t}\left\{v_{r}\left(q_{r}\right) \dot{q}_{r}\right\}-\frac{1}{2} v_{r}^{\prime}\left(q_{r}\right) \dot{q}_{r}^{2}=-\omega_{r}^{\prime}\left(q_{r}\right) \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

или
\[
v_{r}\left(q_{r}\right) \ddot{q}_{r}+\frac{1}{2} v_{r}^{\prime}\left(q_{r}\right) \dot{q}_{r}^{2}=-\omega_{r}^{\prime}\left(q_{r}\right) \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы и дают:
\[
\frac{1}{2} v_{r}\left(q_{r}\right) \dot{q}_{r}^{2}+\omega_{r}\left(q_{r}\right)=c_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ – постоянные интегрирования. Полученные уравнения могут быть снова проинтегрированы, так как переменные $q_{r}$ и $t$ разделены. Таким образом, мы получим:
\[
t=\int\left\{\frac{v_{r}\left(q_{r}\right)}{2 c_{r}-2 \omega_{r}\left(q_{r}\right)}\right\}^{\frac{1}{2}} d q_{r}+\gamma_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots, \gamma_{n}$ – постоянные интегрирования. Последние уравнения представляют решение задачи.

Значительное расширение этого класса динамических задач дано Лиувиллем ${ }^{1}$. Он показал, что все динамические задачи, для которых кинетическая и потенциальная энергии могут быть представлены в виде:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2}\left\{u_{1}\left(q_{1}\right)+u_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+u_{n}\left(q_{n}\right)\right\}\left\{v_{1}\left(q_{1}\right) \dot{q}_{1}^{2}+v_{2}\left(q_{2}\right) \dot{q}_{2}^{2}+\right. \\
\left.\quad+\cdots+v_{n}\left(q_{n}\right) \dot{q}_{n}^{2}\right\} \\
V=\frac{\omega_{1}\left(q_{1}\right)+\omega_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+\omega_{n}\left(q_{n}\right)}{u_{1}\left(q_{1}\right)+u_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+u_{n}\left(q_{n}\right)},
\end{array}
\]

всегда решаются в квадратурах.
В самом деле, заменяя переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ переменными $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}$, где
\[
q_{r}^{\prime}=\int \sqrt{v_{r}\left(q_{r}\right)} d q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

и опуская штрихи при переменных, мы приведем кинетическую и потенциальную энергии к виду:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} u\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right), \\
V & =\frac{1}{u}\left\{\omega_{1}\left(q_{1}\right)+\omega_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+\omega_{n}\left(q_{n}\right)\right\},
\end{aligned}
\]

где
\[
u=u_{1}\left(q_{1}\right)+u_{2}\left(q_{2}\right)+\cdots+u_{n}\left(q_{n}\right) .
\]
${ }^{1}$ Journal de Math., т. 14, стр. $257,1849$.

\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{1}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{1}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{1}}
\]

дает:
\[
\frac{d}{d t}\left(u \dot{q}_{1}\right)-\frac{1}{2} \frac{\partial u}{\partial q_{1}}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right)=-\frac{\partial V}{\partial q_{1}} .
\]

После умножения на $2 u \dot{q}_{1}$ это уравнение дает:
\[
\frac{d}{d t}\left(u^{2} \dot{q}_{1}^{2}\right)-u \dot{q}_{1} \frac{\partial u}{\partial q_{1}}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right)=-2 u \dot{q}_{1} \frac{\partial V}{\partial q_{1}} .
\]

Но из интеграла энергии вытекает, что
\[
\frac{1}{2} u\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right)=h-V,
\]

где $h$ – постоянная. Поэтому уравнение для координаты $q_{1}$ может быть переписано так:
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(u^{2} \dot{q}_{1}^{2}\right) & =2(h-V) \dot{q}_{1} \frac{\partial u}{\partial q_{1}}-2 u \dot{q}_{1} \frac{\partial V}{\partial q_{1}}=2 \dot{q}_{1} \frac{\partial}{\partial q_{1}}\{(h-V) u\}= \\
& =2 \dot{q}_{1} \frac{\partial}{\partial q_{1}}\left\{h u_{1}\left(q_{1}\right)-\omega_{1}\left(q_{1}\right)\right\}=2 \frac{d}{d t}\left\{h u_{1}\left(q_{1}\right)-\omega_{1}\left(q_{1}\right)\right\}
\end{aligned}
\]

Интегрируя, получим:
\[
\frac{1}{2} u^{2} \dot{q}_{1}^{2}=h u_{1}\left(q_{1}\right)-\omega_{1}\left(q_{1}\right)+\gamma_{1},
\]

где $\gamma$ – постоянная интегрирования. Аналогичные уравнения мы получим для всех координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Соответствующие постоянные $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots, \gamma_{n}$ должны, на основании интеграла энергии, удовлетворять условию
\[
\gamma_{1}+\gamma_{2}+\cdots+\gamma_{n}=0 .
\]

Полученные уравнения дают:
\[
\begin{array}{c}
\left\{h u_{1}\left(q_{1}\right)-\omega_{1}\left(q_{1}\right)+\gamma_{1}\right\}^{-\frac{1}{2}} d q_{1}=\left\{h u_{2}\left(q_{2}\right)-\omega_{2}\left(q_{2}\right)+\gamma_{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} d q_{2}= \\
=\ldots=\left\{h u_{n}\left(q_{n}\right)-\omega_{n}\left(q_{n}\right)+\gamma_{n}\right\}^{-\frac{1}{2}} d q_{n} .
\end{array}
\]

Эта система уравнений, которая разделением переменных может быть непосредственно проинтегрирована, и дает решение задачи.

Относительно дальнейших исследований по этому вопросу сошлемся на Hadamard, Bull. des Sc. Math., т. 35, стр. 106, 1911 и Burgatti, Rom. Acc. L. Rend. (5). т. 20, стр. 108, 1911.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru