Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Допустим, что к динамической системе добавлено столько связей, что она сохраняет только одну степень свободы. Как это повлияет на колебания системы? Пусть $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ – нормальные координаты системы. Уравнения связей, которые, так же как и в предыдущем параграфе, линейны относительно координат, могут быть представлены в рассматриваемом случае в виде:
\[
q_{1}=\mu_{1} q, \quad q_{2}=\mu_{2} q, \quad q_{n}=\mu_{n} q,
\]
где $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$ – постоянные, а $q$ – новая переменная, определяющая конфигурацию измененной системы в момент времени $t$.
Первоначальная система имеет кинетическую и потенциальную энергии:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\ldots+\dot{q}_{n}^{2}\right), \quad V=\frac{1}{2}\left(\lambda_{1} q_{1}^{2}+\lambda_{2} q_{2}^{2}+\ldots+\lambda_{n} q_{n}^{2}\right) .
\]
Следовательно, периоды ее нормальных колебаний будут:
\[
\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda_{1}}}, \quad \frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda_{2}}}, \ldots, \frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda_{n}}} .
\]
Для измененной системы имеем:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\mu_{1}^{2}+\mu_{2}^{2}+\ldots+\mu_{n}^{2}\right) \dot{q}^{2}, \quad V=\frac{1}{2}\left(\lambda_{1} \mu_{1}^{2}+\lambda_{2} \mu_{2}^{2}+\ldots+\lambda_{n} \mu_{n}^{2}\right) q^{2} .
\]
Период колебания измененной системы равен $\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda}}$, где $\lambda$ определяется равенством:
\[
\lambda=\frac{\lambda_{1} \mu_{1}^{2}+\lambda_{2} \mu_{2}^{2}+\ldots+\lambda_{n} \mu_{n}^{2}}{\mu_{1}^{2}+\mu_{2}^{2}+\ldots+\mu_{n}^{2}} .
\]
При изменении связей $\lambda$ сохраняет постоянное значение, если только $n-1$ из величин $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$ равны нулю. Это постоянное значение равно одной из величин $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$. Таким образом, мы имеем следующую теорему: если на систему наложено столько связей, что она сохраняет только одну степень свободы, то период колебаний измененной системы сохраняет постоянное значение для всех связей, при которых колебание есть одно из нормальных колебаний первоначальной системы.
