Установим теперь условие, которому должны удовлетворять функции $M_1$, $M_2,\dots ,M_n$ от $x_1,x_2,\dots ,x_n,t$, для того чтобы выражение
$$\int (M_1\delta x_1+M_2\delta x_2+\cdots +M_n\delta x_n)$$

было интегральным инвариантом первого порядка для системы уравнений:
$$\frac{d{x}_r}{dt}=X_r(x_1,x_2,\dots x_n,t)(r=1,2,\dots ,n).$$

Для этого необходимо, чтобы
$$\frac{d}{dt}(M_1\delta x_1+M_2\delta x_2+\cdots +M_n\delta x_n)=0,$$

где производные от $\delta x_1,\delta x_2,\dots ,\delta x_n$ должны быть определены из введенной в предыдущем параграфе расширенной системы дифференциальных уравнений.
Поэтому
$$\sum _{r=1}^n(\frac{d{M}_r}{dt}\delta x_r+M_r\frac{d\delta x_r}{dt})=0$$

или
$$\sum _{r=1}^n(\frac{\partial M_r}{\partial t}\delta x_r+\sum _{k=1}^n\frac{\partial M_r}{\partial x_k}{X}_k\delta x_r+M_r\sum _{k=1}^n\frac{\partial X_r}{\partial x_k}\delta x_k)=0.$$

Так как величины $\delta x_1,\delta x_2,\dots ,\delta x_n$ независимы, то необходимо, чтобы коэффициенты при $\delta x_r$ в этом уравнении обращались в нуль. Следовательно, условиями для интегральной инвариантности будут:
$$\frac{\partial M_r}{\partial t}+\sum _{k=1}^n\frac{\partial M_r}{\partial x_k}{X}_k+\sum _{k=1}^n{M}_k\frac{\partial X_k}{\partial x_r}=0(r=1,2,\dots ,n).$$

ДоБАВЛЕНИЕ 1. Если известен один интеграл дифференциальных уравнений, например
$$F(x_1,x_2,\dots ,x_n,t)=\mathrm{const},$$

то один интегральный инвариант может быть найден непосредственно. В самом деле, имеем:
$$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial F}{\partial x_r}\right)+\sum _{k=1}^n\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\frac{\partial F}{\partial x_r}\right)X_k+\sum _{k=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_k}\frac{\partial X_k}{\partial x_r}=\\ =\frac{\partial }{\partial x_r}(\frac{\partial F}{\partial t}+\sum _{k=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_k}{X}_k)=\frac{\partial }{\partial x_r}\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)=0\end{array}$$

Поэтому выражение
$$\int \sum _{r=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_r}\delta x_r$$

есть интегральный инвариант.
ДоБАВЛЕНИЕ 2. Справедливо и обратное. Если $\int \sum _{r=1}^n\frac{\partial U}{\partial x_r}\delta x_r$, где $U-$ данная функция переменных $x_1,x_2,\dots ,x_n,t$, есть интегральный инвариант некоторой системы дифференциальных уравнений, то для этой системы может быть найден один интеграл. В самом деле, имеем:
$$\begin{array}{rl}0& =\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial U}{\partial x_r}\right)+\sum _{k=1}^n{X}_k\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\frac{\partial U}{\partial x_r}\right)+\sum _{k=1}^n\frac{\partial U}{\partial x_k}\frac{\partial X_k}{\partial x_r}=\\ & =\frac{\partial }{\partial x_r}(\frac{\partial U}{\partial t}+\sum _{k=1}^n\frac{\partial U}{\partial x_k}{X}_k)\end{array}$$

следовательно, выражение
$$\frac{\partial U}{\partial t}+\sum _{k=1}^n\frac{\partial U}{\partial x_k}{X}_k$$

являющееся известной функцией переменнных $x_1,x_2,\dots ,x_n,t$, не зависит от $x_1,x_2,\dots ,x_n$. Обозначим эту известную величину через $\phi (t)$. Тогда имеем:
$$\frac{dU}{dt}=\phi (t)$$

или
$$U-\int \phi (t)dt=\mathrm{const},$$

а это и есть интеграл системы.