Применим предыдущий результат к перемещению, представляющему собой бесконечно малый поворот вокруг оси, выходящей из начала координат. Вместо $\omega$ войдет теперь $\delta \psi$, где $\delta \psi$ – бесконечно малая величина, квадратом которой мы пренебрегаем.
Уравнения предыдущего параграфа принимают теперь вид:
\[
\begin{array}{l}
X=x+(z \cos \beta-y \cos \gamma) \delta \psi, \\
Y=y+(x \cos \gamma-z \cos \alpha) \delta \psi, \\
Z=z+(y \cos \alpha-x \cos \beta) \delta \psi .
\end{array}
\]

Те же самые уравнения мы получим, если сообщим телу одно за другим три бесконечно малых вращения вокруг осей $O x, O y, O z$ с углами поворота, равными соответственно $\cos \alpha \delta \psi, \cos \beta \delta \psi, \cos \gamma \delta \psi$. Следовательно, всякое бесконечно малое вращение $\delta \psi$ вокру некоторой
${ }^{1}$ Векторный вывод тех же формул. Имеем (см. рис. 1):
\[
\overline{O Q}=\overline{O P}+\overline{P R}+\overline{R L}+\overline{L Q} .
\]

Полагаем: $\overline{O Q}=\rho ; \overline{O P}=r, \overline{P R}=d, \overline{K R}=r_{1}, \overline{L Q}=l, \overline{O A}=a$ и через $d^{0}$ обозначим единичный вектор оси $A K$. Тогда $r_{1}=\overline{A R}-\overline{A K}=r+d-a-(r+$ $+d-a) \cdot d^{0} d^{0}=r+d-a-r \cdot d^{0} d^{0}-d+a \cdot d^{0} d^{0}=(r-a)-(r-a) \cdot d^{0} d^{0}$, так как $d \cdot d^{0} d^{0}=d$. Далее, $r_{1}=\left|d^{0} \times(r+d-a)\right|=\left|d^{0} \times(r-a)\right|$ (так как $d^{0}$ и $d$ коллинеарны), $l=r_{1} \sin \omega$ или $l=\left|d^{0} \times(r-a)\right| \sin \omega$, а так как вектора $l$ и $d^{0} \times(r+d-a)=d^{0} \times(r-a)$ и по направлению совпадают, то $l=d^{0} \times(r-a) \sin \omega$ и, наконец, $\overline{R L}=-(1-\cos \omega) r_{1}$. Равенство (1) при этих обозначениях перепишется так:
\[
\rho=r+d-(1-\cos \omega) r_{1}+l,
\]

и подставляя вместо $r_{1}$ и $l$ их выражения, получим:
\[
\rho=r+d-(1-\cos \omega)\left\{(r-a)-(r-a) \cdot d^{0} d^{0}\right\}+\sin \omega d^{0} \times(r-a)
\]

или в координатной форме
\[
\begin{array}{c}
X=x+d \cos \alpha-(1-\cos \omega)\left\{(x-a)-(x-a) \cos ^{2} \alpha-(y-b) \cos \beta \cos \alpha-\right. \\
-(z-c) \cos \gamma \cos \alpha\}+\sin \omega\{\cos \beta(z-c)-\cos \gamma(y-b)\}
\end{array}
\]

и т. д. (Ред.).

прямой ОК эквивалентно трем последовательным бесконечно малым вращениям вокруг осей $O x, O y, O z$, у углами поворота, равными соотлюбые взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через произвольную точку $O$ прямой $O K$.