Применим предыдущий результат к перемещению, представляющему собой бесконечно малый поворот вокруг оси, выходящей из начала координат. Вместо $\omega$ войдет теперь $\delta \psi$, где $\delta \psi$ — бесконечно малая величина, квадратом которой мы пренебрегаем.
Уравнения предыдущего параграфа принимают теперь вид:
$$\begin{array}{l}X=x+(z\cos \beta -y\cos \gamma )\delta \psi ,\\ Y=y+(x\cos \gamma -z\cos \alpha )\delta \psi ,\\ Z=z+(y\cos \alpha -x\cos \beta )\delta \psi .\end{array}$$

Те же самые уравнения мы получим, если сообщим телу одно за другим три бесконечно малых вращения вокруг осей $Ox,Oy,Oz$ с углами поворота, равными соответственно $\cos \alpha \delta \psi ,\cos \beta \delta \psi ,\cos \gamma \delta \psi$. Следовательно, всякое бесконечно малое вращение $\delta \psi$ вокру некоторой
${}^1$ Векторный вывод тех же формул. Имеем (см. рис. 1):
$$\overline{OQ}=\overline{OP}+\overline{PR}+\overline{RL}+\overline{LQ}.$$

Полагаем: $\overline{OQ}=\rho ;\overline{OP}=r,\overline{PR}=d,\overline{KR}=r_1,\overline{LQ}=l,\overline{OA}=a$ и через $d^0$ обозначим единичный вектор оси $AK$. Тогда $r_1=\overline{AR}-\overline{AK}=r+d-a-(r+$ $+d-a)\cdot d^0{d}^0=r+d-a-r\cdot d^0{d}^0-d+a\cdot d^0{d}^0=(r-a)-(r-a)\cdot d^0{d}^0$, так как $d\cdot d^0{d}^0=d$. Далее, $r_1=|d^0\times (r+d-a)|=|d^0\times (r-a)|$ (так как $d^0$ и $d$ коллинеарны), $l=r_1\sin \omega$ или $l=|d^0\times (r-a)|\sin \omega$, а так как вектора $l$ и $d^0\times (r+d-a)=d^0\times (r-a)$ и по направлению совпадают, то $l=d^0\times (r-a)\sin \omega$ и, наконец, $\overline{RL}=-(1-\cos \omega )r_1$. Равенство (1) при этих обозначениях перепишется так:
$$\rho =r+d-(1-\cos \omega )r_1+l,$$

и подставляя вместо $r_1$ и $l$ их выражения, получим:
$$\rho =r+d-(1-\cos \omega )\{(r-a)-(r-a)\cdot d^0{d}^0\}+\sin \omega d^0\times (r-a)$$

или в координатной форме
$$\begin{array}{c}X=x+d\cos \alpha -(1-\cos \omega )\{(x-a)-(x-a){\cos }^2\alpha -(y-b)\cos \beta \cos \alpha -\\ -(z-c)\cos \gamma \cos \alpha \}+\sin \omega \{\cos \beta (z-c)-\cos \gamma (y-b)\}\end{array}$$

и т. д. (Ред.).

прямой ОК эквивалентно трем последовательным бесконечно малым вращениям вокруг осей $Ox,Oy,Oz$, у углами поворота, равными соотлюбые взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через произвольную точку $O$ прямой $OK$.