Из § 116 вытекает, что при преобразовании переменных в системе Гамильтона
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

получается снова система Гамильтона:
\[
\frac{d Q_{r}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial P_{r}}, \quad \frac{d P_{r}}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

если новые переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ обладают тем свойством, что выражение
\[
\int\left(P_{1} \delta Q_{1}+P_{2} \delta Q_{2}+\cdots+P_{n} \delta Q_{n}\right)
\]

есть интегральный инвариант (абсолютный или относительный) для первоначальной системы.

Такого рода преобразования в общем случае свойственны рассматриваемой задаче, т. е. они преобразовывают заданную, а не произвольно взятую систему Гамильтона опять в систему Гамильтона. Однако среди этих преобразований имеются и такие, которые любую систему Гамильтона преобразовывают снова в систему Гамильтона. Эти преобразования можно получить следующим образом.
Согласно $\S 115$ величина
\[
\int \sum_{r=1}^{n} p_{r} \delta q_{r}
\]

является относительным интегральным инвариантом для всякой гамильтоновой системы. Пусть $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ суть $2 n$ переменных, получающихся из $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, при помощи контактного преобразования, так что
\[
\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}-\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}=d W,
\]

где $d W$ – полный дифференциал. Уравнения, определяющие преобразование, могут содержать явно время, так что $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots$, $P_{n}$ будут функциями от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$. Но мы будем предполагать, что в вышенаписанном уравнении символ $d$ означает вариацию, при которой время не варьируется. Если же варьируется также и $t$, то это уравнение перейдет в
\[
\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}-\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}=d W+U d t,
\]

где $U$ – некоторая функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$.
Но вариация $\delta$ в интегральном инварианте соответствует переходу от какой-нибудь точки траектории к равновременной точке смежной кривой. Поэтому, если рассматривать переменные как функции от $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n}$ и $t$, где $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n}$ – постоянные интегрирования, входящие в решение уравнений движения, то вариация $\delta$ получится в результате изменений одних лишь величин $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n}$ без изменения $t$. Следовательно, как частный случай последнего уравнения имеем:
\[
\sum_{r=1}^{n} P_{r} \delta Q_{r}-\sum_{r=1}^{n} p_{r} \delta q_{r}=\delta W
\]

и поэтому
\[
\int \sum_{r=1}^{n} P_{r} \delta Q_{r}
\]

есть относительный интегральный инвариант. Следовательно, преобразованные дифференциальные уравнения, в которых за зависимые переменные приняты $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$, имеют гамильтонову форму и могут быть представлены в виде:
\[
\frac{d Q_{r}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial P_{r}}, \quad \frac{d P_{r}}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $K$ – функция от $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$.
При контактном преобразовании переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{n}$ в любой динамической задаче сохраняется гамильтонов вид уравнений движения ${ }^{1}$.

При обычном преобразовании координат в динамической задаче, при котором $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ суть функции только от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, контактное преобразование есть только расширенное точечное преобразование.
${ }^{1}$ Эта важная теорема впервые высказана Якоби (Comptes Rendus, т. 5, стр. 61, 1837).

ЗАДАчА 1. Показать, что контактное преобразование, определяемое уравнениями:
\[
q=(2 Q)^{\frac{1}{2}} k^{-\frac{1}{2}} \cos P, \quad p=(2 Q)^{\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}} \sin P,
\]

преобразует систему:
\[
\frac{d q}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \frac{d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q},
\]

где
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{2}+k^{2} q^{2}\right),
\]

в систему:
\[
\frac{d Q}{d t}=\frac{\partial K}{\partial P}, \quad \frac{d P}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial Q},
\]

где
\[
K=k Q .
\]