Пусть
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}}, \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

уравнения любой динамической системы и пусть
\[
\varphi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t\right)=\text { const }
\]

один из ее интегралов. Мы покажем сейчас, что при помощи этого интеграла можно найти одно частное решение уравнений в вариациях (§ 112).
В самом деле, уравнение в вариациях для $\delta q_{r}$ имеет вид:
\[
\frac{d}{d t} \delta q_{r}=\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{1} \partial p_{r}} \delta q_{1}+\cdots+\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{n} \partial p_{r}} \delta q_{n}+\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{1} \partial p_{r}} \delta p_{1}+\cdots+\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{n} \partial p_{r}} \delta p_{n} ;
\]

Ho
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{1} \partial p_{r}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}}+\cdots+\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{n} \partial p_{r}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{n}}-\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{1} \partial p_{r}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}-\cdots-\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{n} \partial p_{r}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{n}}= \\
=\frac{\partial}{\partial p_{r}}\left(-\sum_{k=1}^{n} \frac{d p_{k}}{d t} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}-\sum_{k=1}^{n} \frac{d q_{k}}{d t} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}}\right)-\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial p_{k} \partial p_{r}}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial q_{k} \partial p_{r}}= \\
=\frac{\partial}{\partial p_{r}}\left(-\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}}\right)-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}}\right)=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}}\right) .
\end{array}
\]

Поэтому уравнениям в вариациях для $\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{n}$ можно удовлетворить значениями:
\[
\delta q_{r}=\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}}, \quad \delta p_{r}=-\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial q_{r}}, \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $\varepsilon$ – очень малая постоянная. Аналогично можно показать, что те же значения удовлетворяют и уравнениям в вариациях для $\delta p_{1}, \delta p_{2}, \ldots$, $\delta p_{n}$. Следовательно, уравнения:
\[
\delta q_{r}=\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}}, \quad \delta p_{r}=-\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}}, \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $\varepsilon$ – очень малая постоянная величина, а $\varphi$ – интеграл первоначальной системы, представляют частное решение уравнений в вариациях.

Очевидно, этот результат может быть выражен следующим образом: Бесконечно малое контактное преобразование переменных $q_{1}$, $q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, определяемое равенствами:
\[
\delta q_{r}=\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}}, \quad \delta p_{r}=-\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial q_{r}}, \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

преобразует всякую траекторию в бесконечно близкую траекторию и, следовательно, совокупность всех траекторий в самое себя. Выражаясь языком теории групп, мы можем сказать, что динамическая система допускает это бесконечно малое преобразование. Таким образом, имеет место теорема: Интегралы динамической системы и контактные преобразования, переводящие систему в самое себя, представляют собой по сути дела одио и то же. Каждому интегралу
\[
\varphi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t\right)=\mathrm{const}
\]

соответствует бесконечно малое контактное преобразование, символом которого (§133) являются скобки Пуассона $(\varphi, f)$.

Очевидно, приведение системы при помощи циклических координат основано на частном случае этой теоремы, для которого интеграл имеет вид $p_{r}=$ const, если $q_{r}$ есть циклическая координата. Этому интегралу соответствует преобразование, при котором изменяется одна лишь координата $q_{r}$.