Иногда встречаются динамические системы, в которых движение по одной траектории асимптотически приближается к движению по другой траектории, т. е. первое движение с неограниченным возрастанием времени все больше и больше приближается ко второму, подобно тому как движение по кривой, имеющей в полярных координатах уравнение
\[
r=a \frac{\vartheta}{\vartheta-1},
\]

с неограниченным возрастанием $\vartheta$ стремится к движению по окружности $r=a$. В частности, могут встречаться траектории, которые асимптотически приближаются к периодическим траекториям, так что движение, будучи вначале отличным от периодического, затем все более и более к нему приближается. Такого рода движения называются асимптотическими решениями ${ }^{1}$.

Может, конечно, встретиться и другой вид асимптотических решений, когда движение, значительно отличаясь от периодического при $t \rightarrow+\infty$, асимптотически приближается к нему при $t \rightarrow-\infty$. В самом деле, если периодическая траектория неустойчива, то траектория точки, которая незначительно отклонена от периодического движения, будет, очевидно, принадлежать к асимптотическим решениям этого вида.

Как мы увидим в ближайшем параграфе, могут существовать решения, которые одновременно принадлежат к обоим видам асимптотических решений, т. е. они стремятся к периодическим решениям при $t \rightarrow+\infty$ и при $t \rightarrow-\infty$, но значительно от них отклоняются при промежуточных значениях времени. Такого рода решения мы будем называть двояко-асимптотическими ${ }^{2}$.