Иной смысл придает понятию устойчивости Пуассон. По Пуассону система называется устойчивой, если она бесчисленное множество раз подходит сколь угодно близко к своему исходному положению, в то время как промежуточные отклонения от этого исходного положения могут достигать конечной величины.

Пуанкаре показал, что к исследованию устойчивости в смысле Пуассона может быть приложена теория интегральных инвариантов.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
\[
\frac{d x_{r}}{d t}=X_{r}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

определяющую движение точки с координатами $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ в пространстве $n$ измерений.

Мы будем полагать, что эта система допускает интегральный инвариант:
\[
\iint \ldots \int \delta x_{1} \delta x_{2} \ldots \delta x_{n} .
\]

Тогда, если траектории не имеют уходящих в бесконечность ветвей, можно показать ${ }^{4}$, что для любой сколь угодно малой области $R$ пространства существуют траектории, пересекающие эту область бесчисленное множество раз. В действительности вероятность того, что траектория, выходящая из $R$, не пересечет эту область бесчисленное множество раз, равна нулю, как бы мала ни была область $R$. Пуанкаре развил этот метод в различных направлениях и показал, что при некоторых условиях он может быть приложен к ограниченной задаче трех тел.
${ }^{1}$ Amer. J. Math., т. 1, стр. 75, 1878.
${ }^{2}$ Acta Math., т. 10, стр. 109, 1887.
${ }^{3}$ Acta Math., т. 21, стр. 99, 1897.
${ }^{4}$ Poincaré, Acta Math., т. 13, стр. 67, 1890; Nouv. Méth. d. Méc. Cel., т. 3, гл. 27.