Согласно $\S 27$ движение консервативной голономной системы с $n$ степенями свободы определяется дифференциальными уравнениями:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ – координаты, а $L$-кинетический потенциал.

Величина $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}$ называется импульсом или моментом, соответствующим координате $q_{r}$.

Может случиться, что некоторые координаты, например $q_{1}, q_{2}, \ldots$, $q_{k}$, не входят явно в функцию $L$, но эта функция содержит явно соответствующие скорости $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{k}$. Такого рода координаты носят название циклических. Мы увидим в дальнейшем, что когда задача разрешима в квадратурах, то в большинстве случаев это является следствием существования циклических координат.

Уравнениями Лагранжа, соответствующими $k$ циклическим координатам, будут:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)=0 \quad(r=1,2, \ldots, k),
\]

интегрирование которых дает:
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}=\beta_{r} \quad(r=1,2, \ldots, k),
\]

где через $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{k}$ обозначены постоянные интегрирования. Последние уравнения дают, очевидно, $k$ интегралов нашей системы.

Покажем теперь, каким образом, используя эти $k$ интегралов, можно понизить порядок системы ${ }^{1}$.
Полагаем
\[
L-\sum_{r=1}^{k} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}=R .
\]

При помощи $k$ уравнений
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}=\beta_{r} \quad(r=1,2, \ldots, k)
\]

можно выразить соответствующие циклическим координатам скорости $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{k}$ и, следовательно, величину $R$ как функцию переменных:
\[
q_{k+1}, q_{k+2}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{k+1}, \dot{q}_{k+2}, \ldots, \dot{q}_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{k} .
\]

Обозначим через $\delta f$ приращение некоторой функции $f$ от аргументов:
\[
q_{k+1}, q_{k+2}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}
\]

или
\[
q_{k+1}, q_{k+2}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{k+1}, \dot{q}_{k+2}, \ldots, \dot{q}_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{k}
\]
${ }^{1}$ Эти преобразования представляют собой частный случай преобразований Гамильтона, рассматриваемых в десятой главе. Тем не менее они были самостоятельно открыты Раусом (Routh) в 1876 г. и несколько позже Гельмгольцем.

при произвольных бесконечно малых изменениях
\[
\delta q_{k+1}, \delta q_{k+2}, \ldots, \delta q_{n}, \delta \dot{q}_{1}, \delta \dot{q}_{2}, \ldots, \delta \dot{q}_{n}
\]

этих аргументов. Тогда согласно определению $R$
\[
\delta R=\delta\left(L-\sum_{r=1}^{k} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right),
\]

но
\[
\delta L=\sum_{r=k+1}^{n} \frac{\partial L}{\partial q_{r}} \delta q_{r}+\sum_{r=1}^{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\sum_{r=k+1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}
\]

и
\[
\delta\left(\sum_{r=1}^{k} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)=\sum_{r=1}^{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\sum_{r=1}^{k} \dot{q}_{r} \delta \beta_{r},
\]

так как
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}=\beta_{r} .
\]

Отсюда
\[
\delta R=\sum_{r=k+1}^{n} \frac{\partial L}{\partial q_{r}} \delta q_{r}+\sum_{r=k+1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}-\sum_{r=1}^{k} \dot{q}_{r} \delta \beta_{r} .
\]

Так как бесконечно малые величины, входящие в правую часть последнего уравнения, совершенно произвольны и независимы, то это уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}=\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{r}} \quad(r=k+1, k+2, \ldots, n), \\
\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=\frac{\partial R}{\partial q_{r}} \quad(r=k+1, k+2, \ldots, n), \\
\dot{q}_{r}=-\frac{\partial R}{\partial \beta_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, k) . \\
\end{array}
\]

Подставляя эти значения в уравнения Лагранжа, получим:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial R}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=k+1, k+2, \ldots, n),
\]

Но $R$ есть функция только переменных
\[
\dot{q}_{k+1}, \dot{q}_{k+2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{k+1}, q_{k+2}, \ldots, q_{n}
\]

и постоянных $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{k}$; мы получили, таким образом, новую систему уравнений Лагранжа, которую можно отнести к некоторой новой динамической задаче с $n-k$ степенями свободы. Новыми координатами будут служить величины $q_{k+1}, q_{k+2}, \ldots, q_{n}$, а новым кинетическим потенциалом – величина $R$. Если после решения новой динамической задачи переменные $q_{k+1}, q_{k+2}, \ldots, q_{n}$ будут определены как функции времени, то остальные первоначальные переменные, а именно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, можно будет найти из уравнений:
\[
q_{r}=-\int \frac{\partial R}{\partial \beta_{r}} d t \quad(r=1,2, \ldots, k) .
\]

Таким образом, динамическая задача с $n$ степенями свободы и $\boldsymbol{k}$ циклическими координатами может быть сведена к динамической задаче с $n-k$ степенями свободы.

Вышеуказанное приведение основано на том обстоятельстве, что если кинетический потенциал не содержит явно какой-нибудь координаты $q_{r}$, но содержит соответствующую скорость $\dot{q}_{r}$, то можно сразу указать один интеграл уравнения движения, а именно $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}=$ const. Это является частным случаем значительно более общей теоремы, которую мы докажем ниже. Эта теорема дает возможность сразу найти интеграл уравнений движения, если для них известно бесконечно малое контактное преобразование.

Если первоначальная задача касается консервативной динамической системы, связи которой не зависят от времени, то кинетический потенциал $L$ распадается на две части: на кинетическую энергию, представляющую собой однородную квадратичную функцию относительно $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ с коэффициентами, зависящими от $q_{k+1}, q_{k+2}, \ldots, q_{n}$ и на потенциальную энергию (с противоположным знаком), зависящую только от величин $q_{k+1}, q_{k+2}, \ldots, q_{n}$. Однако в новой динамической системе, к которой приводится первоначальная, кинетический потенциал $R$ уже не может быть разложен таким образом, так как он в общем случае содержит и члены, линейные относительно скоростей. Вообще, если решение какой-нибудь лагранжевой системы приведено к решению другой лагранжевой системы с меньшим числом переменных, то кинетический потенциал этой новой системы не раскладывается обязательно на две части, соответствующие кинетической и потенциальной энергиям. Системы уравнений Лагранжа мы будем называть натуральными, если соответствующий кинетический потенциал содержит только нулевые и вторые степени скоростей; лагранжевы системы, не обладающие этим свойством, мы будем называть ненатуральными.

В виде примера рассмотрим динамическую систему с двумя степенями свободы с кинетической энергией:
\[
T=\frac{1}{2} \frac{\dot{q}_{1}^{2}}{a+b q_{2}^{2}}+\frac{1}{2} \dot{q}_{2}^{2}
\]

и с потенциальной энергией
\[
V=c+d q_{2}^{2},
\]

где $a, b, c, d$ – данные постоянные величины.
Координата $q_{1}$ является, очевидно, циклической, так как она не содержится явно ни в $T$, ни в $V$.

Кинетический потенциал системы равен:
\[
L=\frac{1}{2} \frac{\dot{q}_{1}^{2}}{a+b q_{2}^{2}}+\frac{1}{2} \dot{q}_{2}^{2}-c-d q_{2}^{2} .
\]

Отсюда интеграл, соответствующий циклической координате $q_{1}$, имеет вид:
\[
\frac{\dot{q}_{1}}{a+b q_{2}^{2}}=\beta,
\]

где значение постоянной $\beta$ определяется из начальных условий движения. Для кинетического потенциала приведенной системы получаем:
\[
R=L-\dot{q}_{1} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{1}}=\frac{1}{2} \dot{q}_{2}^{2}-c-d q_{2}^{2}-\frac{1}{2} \beta^{2}\left(a+b q_{2}^{2}\right) .
\]

Таким образом, задача приводится к интегрированию уравнения:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{2}}\right)-\frac{\partial R}{\partial q_{2}}=0
\]

или
\[
\ddot{q}_{2}+\left(2 d+b \beta^{2}\right) q_{2}=0 .
\]

Решение этого линейного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:
\[
q_{2}=4 \sin \left\{\left(2 d+b \beta^{2}\right)^{\frac{1}{2}} t+\varepsilon\right\},
\]

где $A$ и $\varepsilon$ – постоннные интегрирования, значения которых могут быть определены из начальных условий движения. Это уравнение определяет координату $q_{2}$ как функцию времени. Значение $q_{1}$ как функции времени может быть найдено из соотношения:
\[
q_{1}=\beta \int\left(a+b q_{2}^{2}\right) d t,
\]

что дает:
\[
q_{1}=\left(\beta a+\frac{1}{2} \beta b A^{2}\right) t-\frac{\beta b A^{2}}{4\left(2 d+\beta b^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \sin 2\left\{\left(2 d+b \beta^{2}\right)^{\frac{1}{2}} t+\varepsilon\right\} .
\]

Таким образом, задача полностью разрешена.