Поясним метод, указанный в предыдущем параграфе, на следующем примере.
Рассмотрим динамическую систему, определяемую функцией:
\[
\begin{array}{l}
H=2 q_{1} \sin ^{2} p_{1}+q_{2} \sin ^{2} p_{2}+\frac{1}{2\left(1+2 q_{1}^{\frac{1}{2}} \cos p_{1}+q_{1} \cos ^{2} p_{1}+2 q_{2} \cos ^{2} p_{2}\right)^{2}} \\
-\frac{1+q_{1}^{\frac{1}{2}} \cos p_{1}}{\left(1+2 q_{1}^{\frac{1}{2}} \cos p_{1}+q_{1} \cos ^{2} p_{1}+2 q_{2} \cos ^{2} p_{2}\right)^{\frac{3}{2}}} .
\end{array}
\]

Разлагая эту функцию по возрастающим степеням $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$, мы получим:
\[
\begin{aligned}
H & =2 q_{1}+q_{2}+q_{1}^{\frac{3}{2}}\left(-\frac{9}{2} \cos p_{1}-\frac{3}{2} \cos 3 p_{1}\right)+ \\
& +q_{1}^{2}\left(\frac{75}{16}+\frac{25}{4} \cos 2 p_{1}+\frac{25}{16} \cos 4 p_{1}\right)+ \\
& +q_{1} q_{2}\left\{-3-3 \cos 2 p_{1}-3 \cos 2 p_{2}-\frac{3}{2} \cos \left(2 p_{1}+2 p_{2}\right)-\right. \\
& \left.-\frac{3}{2} \cos \left(2 p_{1}-2 p_{2}\right)\right\}+q_{2}^{2}\left\{-\frac{9}{16}-\frac{3}{4} \cos 2 p_{2}-\frac{3}{16} \cos 4 p_{2}\right\}+ \\
& + \text { члены пятого и высшего порядков относительно } \sqrt{q_{1}} \text { и } \sqrt{q_{2}},
\end{aligned}
\]

и, следовательно, в этом случае $s_{1}=2, s_{2}=1$.

Рассуждая так же, как и в конце § 196, мы можем предположить, что член наинизшего порядка в родственном интеграле равен просто $q_{2}$. В таком случае полагаем:
\[
\varphi=q_{2}+\varphi_{3}+\varphi_{4}+\varphi_{5}+\cdots ;
\]

уравнением для определения $\varphi_{3}$ будет:
\[
2 \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial p_{1}}+\frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{2}}=0,
\]

из которого согласно § 201 находим:
\[
\varphi_{3}=\alpha q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2} \cos \left(p_{1}-2 p_{2}\right),
\]

где $\alpha$ – произвольная постоянная.
Для $\varphi_{4}$ мы получаем уравнение:
\[
\begin{aligned}
2 \frac{\partial \varphi_{4}}{\partial p_{1}}+\frac{\partial \varphi_{4}}{\partial p_{2}} & =q_{1} q_{2}\left\{\left(6+\frac{9 \alpha}{2}\right) \sin 2 p_{2}+\left(3+\frac{9 \alpha}{4}\right) \sin \left(2 p_{1}+2 p_{2}\right)-\right. \\
& \left.-\left(3+\frac{9 \alpha}{4}\right) \sin \left(2 p_{1}-2 p_{2}\right)\right\}+q_{2}^{2}\left(\frac{3}{2} \sin 2 p_{2}+\frac{3}{2} \sin 4 p_{2}\right),
\end{aligned}
\]

интеграл которого есть:
\[
\begin{aligned}
\varphi_{4} & =q_{1} q_{2}\left\{-\left(3+\frac{9 \alpha}{4}\right) \cos 2 p_{2}-\left(\frac{1}{2}+\frac{3 \alpha}{8}\right) \cos \left(2 p_{1}+2 p_{2}\right)+\right. \\
& \left.+\left(\frac{3}{2}+\frac{9 \alpha}{8}\right) \cos \left(2 p_{1}-2 p_{2}\right)\right\}+q_{2}^{2}\left(-\frac{3}{4} \cos 2 p_{2}-\frac{3}{16} \cos 4 p_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Уравнение, определяющее $\varphi_{5}$, имеет вид:
\[
2 \frac{\partial \varphi_{5}}{\partial p_{1}}+\frac{\partial \varphi_{5}}{\partial p_{2}}=\frac{\partial H_{5}}{\partial p_{2}}+\left(\varphi_{3}, H_{4}\right)+\left(\varphi_{4}, H_{3}\right),
\]

где, как и раньше, $\left(\varphi_{3}, H_{4}\right)$ означает выражение:
\[
\frac{\partial \varphi_{3}}{\partial q_{1}} \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{1}}+\frac{\partial \varphi_{3}}{\partial q_{2}} \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{2}}-\frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{4}}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{4}}{\partial q_{2}} .
\]

Подберем теперь $\alpha$ таким образом, чтобы уничтожить в правой части этого уравнения коэффициент при $\sin \left(p_{1}-2 p_{2}\right)$. Этот коэффициент равен:
\[
\begin{array}{rr}
\left(\text { из } \frac{\partial H_{5}}{\partial p_{2}}\right) & \frac{39}{2} q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2} \sin \left(p_{1}-2 p_{2}\right), \\
\text { (из } \left.\left(\varphi_{4}, H_{3}\right)\right) & -\frac{45}{2}\left(1+\frac{3 \alpha}{4}\right) q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2} \sin \left(p_{1}-2 p_{2}\right), \\
\text { (из } \left.\left(\varphi_{3}, H_{4}\right)\right) & +\frac{123}{8} \alpha q_{1}^{\frac{3}{2}} q_{2} \sin \left(p_{1}-2 p_{2}\right) .
\end{array}
\]

Поэтому $\alpha$ должно удовлетворять уравнению:
\[
\frac{39}{2}-\frac{45}{2}\left(1+\frac{3 \alpha}{4}\right)+\frac{123}{8} \alpha=0,
\]

из готорого находим:
\[
\alpha=-2 .
\]

После подстановки этого значения $\alpha$ в $\varphi_{3}$ и $\varphi_{4}$ наш интеграл примет вид:
\[
\begin{array}{l}
\text { const }=q_{2}-2 q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2} \cos \left(p_{1}-2 p_{2}\right)+ \\
+q_{1} q_{2}\left\{\frac{3}{2} \cos 2 p_{2}+\frac{1}{4} \cos \left(2 p_{1}+2 p_{2}\right)-\frac{3}{4} \cos \left(2 p_{1}-2 p_{2}\right)\right\}+ \\
+q_{2}^{2}\left(-\frac{3}{4} \cos 2 p_{2}-\frac{3}{16} \cos 4 p_{2}\right)+
\end{array}
\]
+ члены пятого и высшего порядков относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$.
Легко убедиться простым дифференцированием, что рассматриваемая динамическая система допускает интеграл:
\[
\begin{aligned}
\text { const } & =\frac{1}{2}\left\{\sqrt{2 q_{2}} \sin p_{2}+\right. \\
& \left.+q_{1}^{\frac{1}{2}} \sqrt{2 q_{2}} \cos p_{1} \sin p_{2}-2 \sqrt{2 q_{1} q_{2}} \sin p_{1} \cos p_{2}\right\}^{2}- \\
& -\frac{1+q_{1}^{\frac{1}{2}} \cos p_{1}}{\left(1+2 q_{1}^{\frac{1}{2}} \cos p_{1}+q_{1} \cos ^{2} p_{1}+2 q_{2} \cos ^{2} p_{2}\right)^{\frac{1}{2}}} .
\end{aligned}
\]

Этот интеграл является родственным, в чем можно убедиться, находн полное решение или, проще, замечая, что интеграл (5) представляет собой однозначную функцию от $\sqrt{q_{1}}, \sqrt{q_{2}}, p_{1}, p_{2}$, не имеющую особых точек внутри некоторой области, и поэтому соответствующее этому интегралу бесконечно малое преобразование, будучи однозначным и свободным от особых точек, преобразует замкнутые траектории в замкнутые.

Но, разлагая интеграл (5) по возрастающим степеням величин $\sqrt{q_{1}}$ $u \sqrt{q_{2}}$, мы получим ряд (4). Это показывает, что для рассматриваемой динамической системы метод предыдущего параграфа приводит к ряду, сходящемуся при всех значениях $p_{1}$ и $p_{2}$, до тех пор пока $\left|q_{1}\right| u\left|q_{2}\right|$ не превосходят некоторых определенных значений, и что этот ряд представляет родственный интеграл динамической системы.