Согласно предыдущему параграфу задача движения двух материальных точек под действием сил взаимного притяжения или отталкивания сводится к задаче притяжения или отталкивания одной единственной материальной точки от некоторого неподвижного центра. Последняя задача есть известная задача центральных сил.

Общность рассуждений не будет, очевидно, нарушена, если мы массу материальной точки примем равной единице. Каковы бы ни были начальные условия движения, эта точка будет всегда оставаться в плоскости, проходящей через центр сил и вектор начальной скорости, ибо на нее не действуют никакие силы, которые могли бы отклонить ее движение от этой плоскости. Поэтому положение точки может быть задано полярными координатами $r$ и $\vartheta$ в этой плоскости с началом координат в центре сил. Обозначим через $P$ ускорение, направленное к центру сил. Величина $P$ во время движения не будет обязательно зависеть от одной лишь величины $r$.

Кинетическая энергия $T$ материальной точки равна $\frac{1}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}\right)$, а работа силы при бесконечно малом перемещении ( $\delta r, \delta \vartheta$ ) равна
\[
-P \delta r \text {. }
\]
${ }^{1}$ Newton, Principia, кн. I, раздел 11.

Поэтому лагранжевыми уравнениями движения точки будут:
\[
\ddot{r}-r \dot{\vartheta}^{2}=-P, \quad \frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\vartheta}\right)=0 .
\]

Интегрирование второго уравнения дает
\[
r^{2} \dot{\vartheta}=h,
\]

где $h$ – постоянная интегрирования. Этот интеграл соответствует циклической координате $\vartheta$ и может быть истолкован как интеграл момента количества движения относительно неподвижного центра. Для определения дифференциального уравнения траектории исключим из первого уравнения $d t$ при помощи соотношения
\[
\frac{d}{d t}=\frac{h}{r^{2}} \frac{d}{d \vartheta} .
\]

Таким образом, получим уравнение:
\[
\frac{h}{r^{2}} \frac{d}{d \vartheta}\left(\frac{h}{r^{2}} \frac{d r}{d \vartheta}\right)-\frac{h^{2}}{r^{3}}=-P
\]

или, полагая
\[
\begin{array}{c}
u=\frac{1}{r} \\
\frac{d^{2} u}{d \vartheta^{2}}+u=\frac{P}{h^{2} u^{2}} .
\end{array}
\]

Полученное уравнение есть уравнение траектории ${ }^{1}$ в полярных координатах. Его интегрирование помимо $h$ введет еще две другие произвольные постоянные, и четвертая постоянная получится при определении $t$ из уравнения:
\[
t=\frac{1}{h} \int r^{2} d \vartheta+\text { const. }
\]

Часто употребляется уравнение траектории в координатах $r, p$, где $p$ означает расстояние от неподвижного центра до касательной к траектории. Оно может быть получено непосредственно при помощи теоремы Сиаччи ( $\S 18$ ). Так как введенная там величина $h$ является в рассматриваемом теперь случае постоянной, то непосредственно получаем:
\[
P=\frac{h^{2} r}{p^{3} \rho}
\]
${ }^{1}$ В основном это имеется у Ньютона в «Principia» (книга I, § 2 и 3 ) и у Клеpo – Clairaut, Theorie de la lune (1765); в вышеприведенной форме у Whewell, Dynamics (1823).

или
\[
P=\frac{h^{2}}{p^{3}} \frac{d p}{d r} .
\]

Это и есть уравнение траектории.
Так как $h=v p$, где $v$ означает скорость, то из этого уравнения вытекает, что
\[
v^{2}=P \frac{\rho p}{r}
\]

или
\[
v^{2}=\frac{1}{2} P q,
\]

где $q$ означает хорду круга кривизны траектории, проходящую через центр сил.

Часто приходится искать силу, под действием которой материальная точка описывает наперед заданную траекторию. Если траектория задана в полярных координатах, то эта сила находится непосредственно из уравнения:
\[
P=h^{2} u^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \vartheta^{2}}\right) .
\]

Если же траектория задана в координатах $r, p$, то можно воспользоваться уравнением:
\[
P=\frac{h^{2}}{p^{3}} \frac{d p}{d r} .
\]

Если, наконец, траектория задана в прямоугольных координатах, то поступаем следующим образом:

Примем начало координат в неподвижном центре и пусть $f(x, y)=0$ есть уравнение траектории. Интеграл момента количества движения дает:
\[
x \dot{y}-y \dot{x}=h .
\]

Дифференцирование уравнения кривой дает:
\[
f_{x} \dot{x}+f_{y} \dot{y}=0,
\]

где $f_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}$.
Из этих уравнений находим:
\[
\dot{x}=\frac{-h f_{y}}{x f_{x}+y f_{y}}, \quad \dot{y}=\frac{h f_{x}}{x f_{x}+y f_{y}} .
\]

Повторное дифференцирование дает:
\[
\begin{aligned}
\ddot{x} & =\dot{x} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x}+\dot{y} \frac{\partial \dot{x}}{\partial y}= \\
& =\frac{h f_{y}}{x f_{x}+y f_{y}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{h f_{y}}{x f_{x}+y f_{y}}\right)-\frac{h f_{x}}{x f_{x}+y f_{y}} \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{h f_{y}}{x f_{x}+y f_{y}}\right)
\end{aligned}
\]

Выполняя дифференцирование, получим:
\[
\ddot{x}=\frac{h^{2} x\left(-f_{y}^{2} f_{x x}+2 f_{x} f_{y} f_{x y}-f_{x}^{2} f_{y y}\right)}{\left(x f_{x}+y f_{y}\right)^{3}} .
\]

Отсюда же получится искомая сила $P$, так как
\[
\ddot{x}=-P \frac{x}{r},
\]

то
\[
P=\frac{h^{2} r\left(f_{y}^{2} f_{x x}-2 f_{x} f_{y} f_{x y}+f_{x}^{2} f_{y y}\right)}{\left(x f_{x}+y f_{y}\right)^{3}} .
\]

Это равенство дает искомую центральную силу.
Наиболее важным является тот частный случай, когда заданная траектория представляет собой коническое сечение:
\[
2 f(x, y) \equiv a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 .
\]

В этом случае для всех точек конического сечения выражение
\[
f_{x x} f_{y}^{2}-2 f_{x y} f_{x} f_{y}+f_{y y} f_{x}^{2}
\]

принимает постоянное значение
\[
-\left(a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2}\right),
\]

а величина
\[
x f_{x}+y f_{y}
\]

равна
\[
-(g x+f y+c),
\]
т. е. отличается лишь постоянным множителем от величины перпендигуллра, опущеного из точіи $(x, y)$ па поллру пачала поордипат, отпосительно конического сечения. Отсюда получается следующее изящное выражение для центральной силы, под действием которой материальная точка описывает коническое сечение, данное Гамильтоном ${ }^{1}$. Сила, действующая на материальную точку в положении ( $x, y$ ), прямо пропорциональна радиусу-вектору точки $(x, y)$ относительно центра сил и обратно пропорциональна кубу перпендикуляра, опущенного из точки $(x, y)$ на поляру центра сил.

Предоставляем читателю доказать две следующие теоремы, которые могут быть рассматриваемы как обращение теоремы Гамильтона:
${ }^{1}$ Proc. Roy. Irish. Acad., 1846.

1. Если точка движется под действием силы, направленной к неподвижному центру пропорциональной ее расстоянию от центра и обратно пропорциональной кубу расстояния от некоторой прямой, то траектория движения есть коническое сечение.
2. Если точка движется под действием силы, направленной к началу координат и равной по величине
\[
\mu\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\alpha x^{2}+2 \beta x y+\gamma y^{2}\right)^{-\frac{3}{2}},
\]

где $x$ и $y$ – прямоугольные координаты, а $\mu, \alpha, \beta, \gamma$ – постоянные, то траектория есть коническое сечение, касающееся прямых
\[
\alpha x^{2}+2 \beta x y+\gamma y^{2}=0 .
\]

Дарбу (C. R., т. 84, стр. 936) показал, что только что указанные силы являются единственными, под действием которых траектории суть конические сечения, если эти силы зависят от одного лишь расстояния до неподвияного центра. Сюшар (Suchar, Nouv. Ann., т. 6. стр. 532) нашел еще и другие силы, в выражение которых входят компоненты скорости движущейся точки.
ЗАдАчА 1. Точка описывает коническое сечение под действием гамильтоновой силы $\frac{\mu r}{p^{2}}$. Показать, что период обращения равен $\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} p_{0}^{3 / 2}$, где $p_{0}$ – перпендикуляр, опущенный из центра конического сечения на поляру центра сил. (Glaisher).
ЗАдАчА 2. Показать, что материальная точка под действием силы
\[
\frac{\mu r}{\left(A x^{2}+2 H x y+B y^{2}+I\right)^{3}}
\]

при подходящем выборе начальной скорости опишет коническое сечение, асимптоты которого параллельны прямым:
\[
A x^{2}+2 H x y+B y^{2}=0 .
\]
(Glaisher).