В § 32 мы изложили общие принципы определения характера начального движения системы, выходящей в некоторый заданный момент времени из состояния покоя. Приведем несколько примеров для движения твердого тела.
1. Точка массы тодвешена на нити длины $b$ к окружности диска радиуса а и массы 2 . Диск может вращаться вокруг своей горизонтальной оси, и его диаметр, проходящий через точку подвеса нити, занимает в начальный момент горизонтальное положение. Определить начальное движение точки.

Пусть ко времени $t$ от начала движения диск поворачивается на некоторый угол $\varphi$, а нить образует с вертикалью некоторый угол $\psi$. Горизонтальная и направленная вниз вертикальная координата материальной точки относительно центра диска соответственно равны:
\[
a \cos \vartheta+b \sin \varphi, \quad a \sin \vartheta+b \cos \varphi .
\]

Поэтому квадрат скорости этой точки равен:
\[
a^{2} \dot{\vartheta}^{2}+b^{2} \dot{\varphi}^{2}-2 a b \sin (\vartheta+\varphi) \dot{\vartheta} \dot{\varphi}
\]

и, следовательно, кинетическая энергия системы:
\[
T=m a^{2} \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{2} m b^{2} \dot{\varphi}^{2}-m a b \sin (\vartheta+\varphi) \dot{\vartheta} \dot{\varphi} .
\]

Для потенциальной энергии имеем:
\[
V=-m g(a \sin \vartheta+b \cos \varphi) .
\]

Уравнения движения Лагранжа:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\vartheta}}\right)-\frac{\partial T}{\partial \vartheta}=-\frac{\partial V}{\partial \vartheta} \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}\right)-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=-\frac{\partial V}{\partial \varphi}
\end{array}
\]

дают:
\[
\begin{aligned}
2 a^{2} \ddot{\vartheta}-a b \cos (\vartheta+\varphi) \dot{\varphi}^{2}-g a \cos \vartheta-a b \sin (\vartheta+\varphi) \ddot{\varphi} & =0, \\
b^{2} \ddot{\varphi}-a b \cos (\vartheta+\varphi) \dot{\vartheta}^{2}+g b \sin \varphi-a b \sin (\vartheta+\varphi) \ddot{\vartheta} & =0 .
\end{aligned}
\]

Начальные значения величин $\vartheta, \varphi, \dot{\vartheta}, \dot{\varphi}$ равны нулю. Поэтому полученные уравнения показывают, что в начале движения $\ddot{\vartheta}=\frac{g}{2 a}$ и $\ddot{\varphi}=0$. Разложение $\vartheta$ по степеням $t$ начинается, следовательно, членом $\frac{g t^{2}}{4 a}$, а разложение $\varphi$ – членом не ниже третьего порядка. Полагаем:
\[
\begin{array}{l}
\vartheta=\frac{g t^{2}}{4 a}+A t^{2}+B t^{4}+\ldots, \\
\varphi=C t^{3}+D t^{4}+E t^{5}+F t^{6}+\ldots,
\end{array}
\]

подставим эти значения в дифференциальные уравнения и сравним коэффициенты при одинаковых степенях $t$. Вычисляя коэффициенты $A, B, C, \ldots$ из полученных, таким образом, уравнений, находим:
\[
\begin{array}{l}
\vartheta=\frac{g t^{2}}{4 a}+0 t^{4}+\ldots, \\
\varphi=\frac{g^{2} t^{4}}{32 a b}-\frac{g^{3} t^{6}}{1920 a b^{2}}+\ldots
\end{array}
\]

Обозначим через $x$ и $y$ координаты материальной точки относительно горизонтальной и направленной вниз вертикальной осей, проходящих через ее начальное положение. Тогда приближенно
\[
x=a(1-\cos \vartheta)-b \sin \varphi=\frac{1}{2} a \vartheta^{2}-b \varphi=\frac{g^{3} t^{6}}{1920 a b}
\]

и
\[
y=a \sin \vartheta+b(\cos \varphi-1)=a \vartheta=\frac{g t^{2}}{4} .
\]

Исключение $t$ из этого уравнения дает:
\[
y^{3}=30 a b x .
\]

Это и есть искомое приближенное уравнение траектории точки вблизи начального положения.
2. Кольцо массы $m$ скользит по однородному стержню длины $2 a$ и массы $M$, вращающемуся вокруг одного из своих концов. В начале движения стержень расположен горизонтально и кольцо отстоит на отрезок $r_{0}$ от закрепленного конца. Определить кривизну начальной траектории кольца.

Пусть $r, \vartheta$ – полярные координаты кольца в момент времени $t$ относительно конца стержня и горизонтали, причем угол $\vartheta$ отсчитывается от этой прямой вниз. Кинетической и потенциальной энергией соответственно будут:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}\right)+\frac{1}{2} M \frac{4 a^{2}}{3} \dot{\vartheta}^{2} \\
V=-m g r \sin \vartheta-M g a \sin \vartheta
\end{array}
\]

Уравнения Лагранжа:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial r}=-\frac{\partial V}{\partial r} \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\vartheta}}\right)-\frac{\partial T}{\partial \vartheta}=-\frac{\partial V}{\partial \vartheta}
\end{array}
\]

дают:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{r}-r \dot{\vartheta}^{2}-g \sin \vartheta=0, \\
\frac{3}{4} M a^{2} \ddot{\vartheta}+m r^{2} \ddot{\vartheta}+2 m r \dot{r} \dot{\vartheta}-M g a \cos \vartheta-m g r \cos \vartheta=0 .
\end{array}
\]

Так как $\dot{r}, \dot{\vartheta}, \vartheta$ в начале движения равны нулю, то разложения $r$ и $\vartheta$ могут быть приняты в виде:
\[
\begin{array}{l}
r=r_{0}+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3}+a_{4} t^{4}+\ldots, \\
\vartheta=b_{2} t^{2}+b_{3} t^{3}+\ldots
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $t$, найдем:
\[
\begin{array}{c}
a_{2}=0, \quad a_{3}=0, \quad a_{4}=\frac{1}{12} b_{2}\left(g+4 b_{2} r_{0}\right), \\
b_{2}=\frac{3 g\left(M a+m r_{0}\right)}{2\left(4 M a^{2}+3 m r_{0}^{2}\right)} .
\end{array}
\]

Координаты кольца по отношению к горизонтальной и вертикальной осям, проходящим через его начальное положение, будут:
\[
x=r \cos \vartheta-r_{0}, \quad y=r \sin \vartheta
\]

или приближенно:
\[
x=\left(a_{4}-\frac{1}{2} r_{0} b_{2}^{2}\right) t^{4}, \quad y=r_{0} b_{2} t^{2} .
\]

Для кривизны траектории имеем:
\[
\frac{1}{\rho}=\lim \frac{2 x}{y^{2}}=\frac{2 a_{4}}{b_{2}^{2} r_{0}^{2}}-\frac{1}{r_{0}} .
\]

После подстановки найденных значений $b_{2}$ и $a_{4}$ получаем:
\[
\frac{1}{\rho}=\frac{M a\left(4 a-3 r_{0}\right)}{9 r_{0}^{2}\left(M a+m r_{0}\right)} .
\]

Это и есть искомая начальная кривизна траектории кольца.
ЗАДАчА 1. Два однородных стержня $A B$ и $B C$, с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ и длинами $a$ и $b$, связаны шарниром в точке $B$ и могут вращаться вокруг закрепленной точки $A$. В начале движения стержень $A B$ горизонтален, а стержень $B C$ вертикален. Показать, что начальная траектория точки, отсекающей одну треть стержня $B C$, может быть представлена в виде:
\[

u^{3}=60\left(1+\frac{2 m_{2}}{m_{1}}\right) a b x .
\]
(Camb. Math. Tripos., часть 1. 1896.)