Допустим, что перемен-
${}^1$ Знаменитый мемуар Пфаффа об этих выражениях был представлен берлинской академии в 1815 г. (Abhandl. d. Akad. d. Wiss., стр. 76, 1814-1815).

ные $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,P_1,P_2,\dots ,P_n$ связаны контактным преобразованием с переменными $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$, так что разность величин $\sum _{r=1}^n{P}_r\delta Q_r$ и $\sum _{r=1}^n{p}_{r}d{q}_r$ есть полный дифференциал.

Согласно предыдущему параграфу билинейный ковариант дифференциальной формы не изменяется, если к этой форме добавляется полный дифференциал. В самом деле, билинейный ковариант зависит только от величины $\frac{\partial X_i}{\partial x_j}-\frac{\partial X_j}{\partial x_i}$, обращающихся для полного дифференциала в нуль. Далее, мы видели, что билинейный ковариант какой-нибудь формы при любом преобразовании переходит в билинейный ковариант преобразованной формы. Отсюда следует, что билинейные коварианты форм $\sum _{r=1}^n{P}_{r}d{Q}_r$ и $\sum _{r=1}^n{p}_{r}d{q}_r$ равны между собой, т. е. что
$$\sum _{r=1}^n(\delta P_{r}d{Q}_r-d{P}_r\delta Q_r)=\sum _{r=1}^n(\delta p_{r}d{q}_r-d{p}_r\delta q_r).$$

Если переменные $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ переходят в переменные $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,P_1,P_2,\dots ,P_n$ при помощи контактного преобразования, то величина
$$\sum _{r=1}^n(\delta p_{r}d{q}_r-d{p}_r\delta q_r)$$

остается инвариантной относительно этого преобразования.
ПРимЕР 1. Для преобразования, определяемого равенствами:
$$Q=(2q{)}^{\frac{1}{2}}{k}^{-\frac{1}{2}}\cos p,P=(2q{)}^{\frac{1}{2}}{k}^{\frac{1}{2}}\sin p.$$

имеем:
$$\begin{array}{c}dP-(2q{)}^{-\frac{1}{2}}{k}^{-\frac{1}{2}}\sin pdq+(2q{)}^{\frac{1}{2}}{k}^{\frac{1}{2}}\cos pdp,\\ \delta Q=(2q{)}^{-\frac{1}{2}}{k}^{-\frac{1}{2}}\cos p\delta q-(2q{)}^{\frac{1}{2}}{k}^{-\frac{1}{2}}\sin p\delta p,\\ \delta P=(2q{)}^{-\frac{1}{2}}{k}^{\frac{1}{2}}\sin p\delta q+(2q{)}^{\frac{1}{2}}{k}^{\frac{1}{2}}\cos p\delta p,\\ dQ=(2q{)}^{-\frac{1}{2}}{k}^{-\frac{1}{2}}\cos pdq-(2q{)}^{\frac{1}{2}}{k}^{-\frac{1}{2}}\sin pdp,\\ dP\delta Q-\delta PdQ=-{\sin }^{2}p(dq\delta p-\delta qdp)+\\ +{\cos }^{2}p(dp\delta q-\delta pdq)=dp\delta q-\delta pdq,\end{array}$$

следовательно, преобразование является контактным.