Пусть даны $r$ функций $u_{1}, u_{2}, \ldots$, $u_{r}$ от $2 n$ независимых переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Если все скобки Пуассона $\left(u_{i}, u_{k}\right.$ ) могут быть выражены через $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{r}$, то говорят, что функции $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{r}$ образуют группу ${ }^{1}$. Каждая из функций $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{r}$ принадлежит к этой группе.

Если все величины $\left(u_{i}, u_{k}\right.$ ) равны нулю, то говорят, что функции $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{r}$ находятся в инволюции друг к другу или что они образуют систему в инволюции.

Допустим, что $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{r}$ находятся в инволюции, а уравнения $v=0, w=0$ являются следствиями уравнений:
\[
u_{1}=0, \quad u_{2}=0, \ldots, \quad u_{r}=0 .
\]

Покажем, что $v$ и $w$ удовлетворяют уравнению:
\[
(v, w)=0 .
\]

В самом деле, так как $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{r}$ находятся в инволюции, то каждое из уравнений $u_{1}=0, u_{2}=0, \ldots, u_{r}=0$ допускает $r$ бесконечно малых преобразований с символами:
\[
\left(u_{1}, f\right), \quad\left(u_{2}, f\right), \ldots, \quad\left(u_{r}, f\right) .
\]

Так как уравнение $v=0$ является следствием этих уравнений, то и оно допускает все эти преобразования. Это означает, что
\[
\left(u_{k}, v\right)=0 \quad(k=1,2, \ldots, r) .
\]

Следовательно, каждое из уравнений $u_{1}=0, u_{2}=0, \ldots, u_{r}=0$ допускает бесконечно малое преобразование с символом $(v, f)$. Но уравнение $w=0$ является следствием этих уравнений, и потому оно также должно допускать это преобразование. Поэтому
\[
(v, w)=0,
\]

что и доказывает наше предположение.
Имеем, следовательно: если функции $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{r}$ находятся в инволюции и уравнения:
\[
v_{1}=0, \quad v_{2}=0, \quad \ldots, \quad v_{r}=0
\]
${ }^{1}$ Lie, Math. Ann., т. 8, стр. 215, 1875.

являются следствиями уравнений:
\[
u_{1}=0, \quad u_{2}=0, \quad \ldots, \quad u_{r}=0,
\]

то и функции $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{r}$ находятся также в инволюции.