В динамике часто приходится иметь дело с системами, для которых существует положение равновесия, т. е. такое положение, в котором система может постоянно пребывать в состоянии покоя. Например, сферический маятник принимает положение равновесия, если его конец находится на вертикали (сверху или снизу), проходящей через точку подвеса. Если $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ – кооринаты, определяющие положение системы, имеющей кинетический потенциал $L$, а $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ – значения этих координат в положении равновесия, то уравнения движения
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

должны выполняться для значений:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{q}_{1}=0, \quad \ddot{q}_{2}=0, \ldots, \quad \ddot{q}_{n}=0, \quad \dot{q}_{1}=0, \quad \dot{q}_{2}=0, \quad \ldots, \quad \dot{q}_{n}=0, \\
q_{1}=\alpha_{1}, \quad q_{2}=\alpha_{2}, \ldots, \quad q_{n}=\alpha_{n} .
\end{array}
\]

Поэтому значения координат для различных возможных положений равновесия удовлетворяют системе уравнений:
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

в которых величины $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ положены равными нулю.
Если в начале движения система находится вблизи положения равновесия и все ее точки получают очень незначительные начальные скорости, то во многих случаях отклонение системы от положения равновесия будет ничтожно мало. Все точки системы остаются вблизи исходных положений и имеют все время небольшие скорости. В настоящей главе мы займемся исследованием такого рода движений ${ }^{1}$;
${ }^{1}$ Точнее, мы займемся в этой главе исследованием предельных форм, к которым стремятся эти движения, когда начальное отклонение от состояния покоя в положении равновесия стремится к нулю. Исследование движений при малом конечном отклонении от состояния покоя в положении равновесия составляет содержание гл. XVI. Результаты этой главы могут быть рассматриваемы как первое приближение.

мы будем их называть колебаниями около положения равновесия ${ }^{1}$.
Мы ограничиваемся естественно системами, имеющими конечное число степеней свободы. Теорию колебаний систем с неограниченным числом степеней свободы можно найти в сочинениях по акустике.

Пусть система определяется кинетической и потенциальной энергиями $T$ и $V$, а ее положение – координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Мы будем предполагать, что $T$ не содержит явно времени. $T$ есть, следовательно, некоторая квадратичная форма величин $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ с коэффициентами, являющимися произвольными функциями от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Не нарушая общности рассуждений, мы можем, очевидно, предполагать, что положению равновесия соответствуют нулевые значения координат. Следовательно, во все время движения величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ будут очень малыми.

Коэффициенты при квадратах и произведениях величин $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots$, $\dot{q}_{n}$ в выражении $T$ являются функциями от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Так как все координаты и скорости очень малы, то мы можем в качестве приближения к движению ограничиться членами наинизшего порядка в $T$. Поэтому мы заменяем все коэффициенты их постоянными значениями, которые они принимают при $q_{1}=q_{2}=\ldots=q_{n}=0$. В силу этого кинетическая энергия делается квадратичной формой от $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ с постоянными коэффициентами.

В разложении $V$ по возрастающим степеням $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ – член, не зависящий от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, может быть отброшен, так как он не имеет влияния на уравнения движения. Кроме того, $V$ не содержит линейных членов относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, так как в случае величины $\frac{d V}{d q_{r}}$ не обращались бы в нуль в положении равновесия, что, как мы видели, является необходимым. Следовательно, разложение $V$ начинается членами второго порядка относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Пренебрегая членами высшего порядка, мы получим для $V$ некоторую однородную квадратичную форму относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ с постоянными коэффициентами.

Задача колебаний вокруг положения равновесия приводтся, следовательно, к интегрированию уравнений движения Лагранжа, в которых кинетическая и потенциальная энергии являются соответственно однородными квадратичными формами относительно скоростей и координат с постоянными коэффицентами.