Интегральные инварианты заданной системы дифференциальных уравнений дают интегралы некоторой другой системы дифференциальных уравнений, выводящейся из первой.
Пусть дана система:
$$\frac{d{x}_r}{dt}=X_r(x_1,x_2,\dots x_n,t)(r=1,2,\dots ,n).$$

Пусть $x_1,x_2,\dots ,x_n$ и $x_1+\delta x_1,x_2+\delta x_2,\dots ,x_n+\delta x_n$ представляют собой два бесконечно близких решения этой системы. Величины $\delta x_1,\delta x_2,\dots ,\delta x_n$ предполагаются, следовательно, бесконечно малыми.
Тогда имеем:
$$\frac{d}{dt}(x_r+\delta x_r)=X_r(x_1+\delta x_1,x_2+\delta x_2,\dots x_n+\delta x_n,t)(r=1,2,\dots ,n)$$

и, следовательно,
$$\frac{d}{dt}\delta x_r=\frac{\partial X_r}{\partial x_1}\delta x_1+\frac{\partial X_r}{\partial x_2}\delta x_2+\cdots +\frac{\partial X_r}{\partial x_n}\delta x_n(r=1,2,\dots ,n).$$

Эти последние $n$ уравнений совместно с первоначальными уравнениями могут быть рассматриваемы как система из $2n$ дифференциальных уравнений с зависимыми переменными $x_1,x_2,\dots ,x_n,\delta x_1,\delta x_2,\dots ,\delta x_n$. Если
$$\int \sum _r{F}_r(x_1,x_2\dots ,x_n)\delta x_r$$

есть интегральный инвариант первоначальной системы, то производная по времени от величины
$$\sum _r{F}_r(x_1,x_2\dots ,x_n)\delta x_r$$

в силу дифференциальных уравнений расширенной системы должна равняться нулю, так как путь интегрирования совершенно произволен. Следовательно,
$$\sum _r{F}_r(x_1,x_2\dots ,x_n)\delta x_r=\text{ const }$$

есть интеграл расширенной системы. Интегральному инварианту первого порядка первоначальной систелы соответствует интеграл расииренной системы, и наоборот.

Елли известно частное решение $x_1,x_2,\dots ,x_n$ первоначальной системы, то мы можем ввести определяемье им значения величин $x_1,x_2,\dots ,x_n$ в дифференциальные уравнения расширенной системы. Тогда мы получим $n$ линейных дифференциальных уравнений для определения величин $\delta x_1,\delta x_2,\dots ,\delta x_n$, т. е. для определения того решения первоначальной системы, которое будет соседним с известным частным решением. Эти $n$ линейных уравнений называются уравнениями в вариациях.