Главная > АНАЛИТИЧИСКАЯ ДИНАМИКА (Э.УИТТЕКЕР)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. Показать, что преобразование, определяемое равенствами:
\[
\begin{array}{c}
Q_{1}=q_{1}^{2}+\lambda^{2} p_{1}^{2}, \quad Q_{2}=q_{2}^{2}+\lambda^{2} p_{2}^{2}, \\
P_{1}=\operatorname{arctg}\left(\frac{q_{1}}{\lambda p_{1}}\right)-\operatorname{arctg}\left(\frac{q_{2}}{\lambda p_{2}}\right), \quad P_{2}=\lambda \operatorname{arctg}\left(\frac{q_{2}}{\lambda p_{2}}\right),
\end{array}
\]

является контактным и что оно преобразует динамическую систему с гамильтоновой функцией $\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\lambda^{-2} q_{1}^{2}+\lambda^{-2} q_{2}^{2}\right)$ в динамическую систему с гамильтоновой функцией $Q_{2}$.
2. $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 n}$ суть произвольные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{n}$.
Пусть
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\cdots+p_{n} d q_{n}=X_{1} d x_{1}+X_{2} d x_{2}+\cdots+X_{2 n} d x_{2 n},
\]

и $a_{m n}=\frac{\partial X_{m}}{\partial x_{n}}-\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{m}}$ определитель, составленный из $a_{m n}, A_{i k}$ – алгебраическое дополнение элемента $a_{i k}$, деленное на $D$ и $u, v$ – произвольные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Показать, что
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{r}} \frac{\partial v}{\partial p_{r}}-\frac{\partial u}{\partial p_{r}} \frac{\partial v}{\partial q_{r}}\right)=\sum_{i=1}^{2 n} \sum_{k=1}^{2 n} A_{i k} \frac{\partial v}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{k}} .
\]
(Clebsch.)

3. Показать, что для всякой гамильтоновой системы интегральные инварианты:
\[
\begin{array}{l}
\iint \ldots \int \delta q_{1} \delta q_{2} \ldots \delta q_{n} \delta p_{1} \delta p_{2} \ldots \delta p_{n} \\
\iint \cdots \int \delta Q_{1} \delta Q_{2} \ldots \delta Q_{n} \delta P_{1} \delta P_{2} \ldots \delta P_{n}
\end{array}
\]

где интегрирование распространено на соответствующие друг другу области, равны между собой, если $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, Q_{1}$, $Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ связаны между собой контактным преобразованием.
4. Показать, что контактное преобразование, определяемое равенствами:
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=\lambda_{1}^{-\frac{1}{2}}\left(2 Q_{1}\right)^{\frac{1}{2}} \cos P_{1}+\lambda_{2}^{-\frac{1}{2}}\left(2 Q_{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cos P_{2}, \\
q_{2}=-\lambda_{1}^{-\frac{1}{2}}\left(2 Q_{1}\right)^{\frac{1}{2}} \cos P_{1}+\lambda_{2}^{-\frac{1}{2}}\left(2 Q_{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cos P_{2}, \\
p_{1}=\frac{1}{2}\left(2 \lambda_{1} Q_{1}\right)^{\frac{1}{2}} \sin P_{1}+\frac{1}{2}\left(2 \lambda_{2} Q_{2}\right)^{\frac{1}{2}} \sin P_{2}, \\
p_{2}=-\frac{1}{2}\left(2 \lambda_{1} Q_{1}\right)^{\frac{1}{2}} \sin P_{1}+\frac{1}{2}\left(2 \lambda_{2} Q_{2}\right)^{\frac{1}{2}} \sin P_{2},
\end{array}
\]

преобразует систему:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2),
\]

где
\[
H=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\frac{1}{8} \lambda_{1}^{2}\left(q_{1}-q_{2}\right)^{2}+\frac{1}{8} \lambda_{2}^{2}\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2},
\]

в систему:
\[
\frac{d Q_{r}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial P_{r}}, \quad \frac{d P_{r}}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2),
\]

где
\[
K=\lambda_{1} Q_{1}+\lambda_{2} Q_{2} .
\]

Проинтегрировать эту систему и тем самым также и первоначальную.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru