1. Показать, что преобразование, определяемое равенствами:
\[
\begin{array}{c}
Q_{1}=q_{1}^{2}+\lambda^{2} p_{1}^{2}, \quad Q_{2}=q_{2}^{2}+\lambda^{2} p_{2}^{2}, \\
P_{1}=\operatorname{arctg}\left(\frac{q_{1}}{\lambda p_{1}}\right)-\operatorname{arctg}\left(\frac{q_{2}}{\lambda p_{2}}\right), \quad P_{2}=\lambda \operatorname{arctg}\left(\frac{q_{2}}{\lambda p_{2}}\right),
\end{array}
\]

является контактным и что оно преобразует динамическую систему с гамильтоновой функцией $\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\lambda^{-2} q_{1}^{2}+\lambda^{-2} q_{2}^{2}\right)$ в динамическую систему с гамильтоновой функцией $Q_{2}$.
2. $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 n}$ суть произвольные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{n}$.
Пусть
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\cdots+p_{n} d q_{n}=X_{1} d x_{1}+X_{2} d x_{2}+\cdots+X_{2 n} d x_{2 n},
\]

и $a_{m n}=\frac{\partial X_{m}}{\partial x_{n}}-\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{m}}$ определитель, составленный из $a_{m n}, A_{i k}$ – алгебраическое дополнение элемента $a_{i k}$, деленное на $D$ и $u, v$ – произвольные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Показать, что
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{r}} \frac{\partial v}{\partial p_{r}}-\frac{\partial u}{\partial p_{r}} \frac{\partial v}{\partial q_{r}}\right)=\sum_{i=1}^{2 n} \sum_{k=1}^{2 n} A_{i k} \frac{\partial v}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{k}} .
\]
(Clebsch.)

3. Показать, что для всякой гамильтоновой системы интегральные инварианты:
\[
\begin{array}{l}
\iint \ldots \int \delta q_{1} \delta q_{2} \ldots \delta q_{n} \delta p_{1} \delta p_{2} \ldots \delta p_{n} \\
\iint \cdots \int \delta Q_{1} \delta Q_{2} \ldots \delta Q_{n} \delta P_{1} \delta P_{2} \ldots \delta P_{n}
\end{array}
\]

где интегрирование распространено на соответствующие друг другу области, равны между собой, если $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, Q_{1}$, $Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ связаны между собой контактным преобразованием.
4. Показать, что контактное преобразование, определяемое равенствами:
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=\lambda_{1}^{-\frac{1}{2}}\left(2 Q_{1}\right)^{\frac{1}{2}} \cos P_{1}+\lambda_{2}^{-\frac{1}{2}}\left(2 Q_{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cos P_{2}, \\
q_{2}=-\lambda_{1}^{-\frac{1}{2}}\left(2 Q_{1}\right)^{\frac{1}{2}} \cos P_{1}+\lambda_{2}^{-\frac{1}{2}}\left(2 Q_{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cos P_{2}, \\
p_{1}=\frac{1}{2}\left(2 \lambda_{1} Q_{1}\right)^{\frac{1}{2}} \sin P_{1}+\frac{1}{2}\left(2 \lambda_{2} Q_{2}\right)^{\frac{1}{2}} \sin P_{2}, \\
p_{2}=-\frac{1}{2}\left(2 \lambda_{1} Q_{1}\right)^{\frac{1}{2}} \sin P_{1}+\frac{1}{2}\left(2 \lambda_{2} Q_{2}\right)^{\frac{1}{2}} \sin P_{2},
\end{array}
\]

преобразует систему:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2),
\]

где
\[
H=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\frac{1}{8} \lambda_{1}^{2}\left(q_{1}-q_{2}\right)^{2}+\frac{1}{8} \lambda_{2}^{2}\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2},
\]

в систему:
\[
\frac{d Q_{r}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial P_{r}}, \quad \frac{d P_{r}}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2),
\]

где
\[
K=\lambda_{1} Q_{1}+\lambda_{2} Q_{2} .
\]

Проинтегрировать эту систему и тем самым также и первоначальную.