Волчком называется тело, имеющее ось симметрии и оканчивающееся острым концом.

Мы исследуем движение волчка, вращающегося вокруг своей оси и опирающегося своим острым концом $O$ на абсолютно шероховатую плоскость. Конец $O$ можно практически рассматривать как закрепленную точку. Задача приводится к определению движения тела вращения под действием силы тяжести, когда одна из точек его оси закреплена неподвижно в пространстве ${ }^{1}$.

Пусть $A, A, C$ – моменты инерции тела относительно связанной с ним системы координат $O x y z$, начало которой совпадает с закрепленной точкой, а ось $z-$ с осью волчка. Направление осей $O x y z$ мы будем определять по отношению к неподвижной в пространстве системе $O X Y Z$ при помощи трех углов Эйлера $\vartheta, \varphi, \psi$. Ось $O Z$ предполагается направленной вертикально вверх.
Для кинетической энергии имеем согласно § 63 выражение:
\[
T=\frac{1}{2}\left(A \omega_{1}^{2}+A \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}\right),
\]

где $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – компоненты угловой скорости по подвижным осям координат. Для них согласно § 16 справедливы соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}=\dot{\vartheta} \sin \psi-\dot{\varphi} \sin \vartheta \cos \psi, \\
\omega_{2}=\dot{\vartheta} \cos \psi+\dot{\varphi} \sin \vartheta \sin \psi, \\
\omega_{3}=\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta .
\end{array}
\]

Поэтому кинетическая энергия:
\[
T=\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{2} A \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{2} C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)^{2} .
\]

Потенциальная энергия:
\[
V=M g h \cos \vartheta,
\]

где $M$ – масса волчка и $h$ – расстояние его центра тяжести от закрепленной точки.
Отсюда для кинетического потенциала имеем:
\[
L=T-V=\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{2} A \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{2} C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)^{2}-M g h \cos \vartheta .
\]

Координаты $\varphi$ и $\psi$ являются, очевидно, циклическими; им соответствуют интегралы:
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=\mathrm{const}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}=\mathrm{const}
\]
${ }^{1}$ Lagrange, Mec. Anal., Oeuvres, т. 12, стр. 251.

или
\[
\begin{array}{c}
A \dot{\varphi} \sin ^{2} \vartheta+C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta) \cos \vartheta=a, \\
C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)=b,
\end{array}
\]

где $a$ и $b$ – постоянные. Эти интегралы могут быть истолкованы как интегралы моментов количества движения относительно осей $O Z$ и $O z$ и, следовательно, могли бы быть получены непосредственно из общих динамических принципов.

Измененный кинетический потенциал приведенной системы ( $\S 38$ ) равен:
\[
R=L-a \dot{\varphi}-b \dot{\psi}=\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}-\frac{(a-b \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}-\frac{b^{2}}{2 C}-M g h \cos \vartheta .
\]

Член $-\frac{b^{2}}{2 C}$ может быть отброшен как постоянный. Уравнением движения будет
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial R}{\partial \dot{\vartheta}}\right)-\frac{\partial R}{\partial \vartheta}=0,
\]
т. е. $\vartheta$ изменяется так же, как и в динамической системе с одной степенью свободы, имеющей кинетическую энергию $\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}$ и потенциальную энергию
\[
\frac{(a-b \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}+M g h \cos \vartheta .
\]

Поэтому зависимость между $\vartheta$ и $t$ может быть получена из интеграла энергии приведенной системы, а именно:
\[
\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}=-\frac{(a-b \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}-M g h \cos \vartheta+c,
\]

где $c$ – некоторая постоянная.
Полагая в этом уравнении $\cos \vartheta=x$, получим:
\[
A^{2} \dot{x}^{2}=-(a-b x)^{2}-2 A M g h\left(x-x^{3}\right)+2 A c\left(1-x^{2}\right) .
\]

В правой части стоит полином третьей степени относительно $x$; при $x=-1$ он имеет отрицательное значение; при некоторых действительных значениях $\vartheta$, т. е. при некоторых значениях $x$, заключенных между -1 и +1 , он должен быть положителен, так как левая часть уравнения положительна; при $x=1$ он снова принимает отрицательное значение, а при $x=+\infty$ – положительное значение. Следовательно, полином имеет два действительных корня в интервале $(-1,+1)$ и третий корень, также действительный, больший единицы. Обозначим эти три корня соответственно через
\[
\cos \alpha, \quad \cos \beta, \quad \operatorname{ch} \gamma,
\]

где $\cos \beta>\cos \alpha$, так что $\alpha>\beta$.
Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:
\[
\left(\frac{M g h}{2 A}\right)^{\frac{1}{2}} d t=\{4(x-\cos \alpha)(x-\cos \beta)(x-\operatorname{ch} \gamma)\}^{-\frac{1}{2}} d x .
\]

Полагая
\[
x=\frac{2 A}{M g h} z+\frac{1}{3}(\cos \alpha+\cos \beta+\operatorname{ch} \gamma)=\frac{2 A}{M g h} z+\frac{2 A c+b^{2}}{6 A M g h},
\]

получим:
\[
t+\text { const }=\int\left\{4\left(z-e_{1}\right)\left(z-e_{2}\right)\left(z-e_{3}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}} d z,
\]

где постоянные $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ определяются уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
e_{1}=\frac{M g h}{2 A} \operatorname{ch} \gamma-\frac{2 A c+b^{2}}{12 A^{2}}, \\
e_{2}=\frac{M g h}{2 A} \cos \beta-\frac{2 A c+b^{2}}{12 A^{2}}, \\
e_{3}=\frac{M g h}{2 A} \cos \alpha-\frac{2 A c+b^{2}}{12 A},
\end{array}
\]

так что $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ действительны и удовлетворяют соотношениям:
\[
e_{1}+e_{2}+e_{3}=0, \quad e_{1}>e_{2}>e_{3} .
\]

Следовательно, $z$ и $t$ связаны соотношением:
\[
z=\wp(t+\varepsilon),
\]

где $\varepsilon$ – постоянная интегрирования, а функция $\wp$ образована при помощи корней $e_{1}, e_{2}, e_{3}$. Отсюда следует, что
\[
x=\frac{2 A}{M g h} \wp(t+\varepsilon)+\frac{2 A c+b^{2}}{6 A M g h} .
\]

Для того чтобы $\dot{x}$ при действительных значениях $t$ был действительным, необходимо, очевидно, чтобы при действительных величинах $t \wp(t+\varepsilon)$ заключалась между $e_{2}$ и $e_{3}$. Поэтому мнимая часть величины $\varepsilon$ должна равняться полупериоду $\omega_{3}$, соответствующему корню $e_{3}$. Действительная часть $\varepsilon$ зависит от начала отсчета времени и подходящим выбором последнего может быть сделана нулем. Поэтому имеем окончательно:
\[
\cos \vartheta=\frac{2 A}{M g h} \wp\left(t+\omega_{3}\right)+\frac{2 A c+b^{2}}{6 A M g h} .
\]

Это уравнение дает выражение угла Эйлера $\vartheta$ через время ${ }^{1}$.
ЗАдАчА 1. Волчок приведен в движение таким образом, что в начальный момент
\[
\vartheta=60^{\circ}, \quad \dot{\vartheta}=0, \quad \dot{\varphi}=2\left(\frac{M g h}{3 A}\right)^{\frac{1}{2}}, \quad \dot{\psi}=(3 A-C)\left(\frac{M g h}{3 A C^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} .
\]

Показать, что для всякого другого момента времени $t$
\[
\frac{1}{\cos \vartheta}=1+\frac{1}{\operatorname{ch}\left(\sqrt{\frac{M g h}{A} t}\right)},
\]

так что ось волчка непрерывно приближается к вертикали.
В самом деле, для постоянных $a, b, c$ легко находим значения:
\[
a=b=(3 M g h A)^{\frac{1}{2}}, \quad c=M g h,
\]

так что уравнение, определяющее $x$, принимает вид:
\[
\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=\frac{M g h}{A}\left(1-x^{2}\right)(2 x-1),
\]

чем и доказывается высказанное предположение.
ЗАДАчА 2. На тело вращения, которое может вращаться вокруг одной закрепленной точки своей оси, действуют силы, имеющие потенциал $\mu \operatorname{ctg}^{2} \vartheta$, где $\vartheta$ – угол, образованный осью с некоторой неподвижной прямой. Показать, что уравнения движения могут быть проинтегрированы в элементарных функциях.
${ }^{1}$ Рассматриваемая задача может быть приведена к задаче движения сферического маятника ( $\$ 55$ ), если величины $M, C, A, h, a, b, c, \cos \vartheta, \varphi, l, k$ заменить соответственно величинами $1,0, l^{2}, l, k, 0, h, \frac{z}{l}, \varphi, \lambda, \mu$.

Поступая так же, как и в случае волчка, на абсолютно шероховатой плоскости, мы получим для интеграла энергии приведенной системы уравнение:
\[
\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}=-\frac{(a-b \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}-\mu \frac{\cos ^{2} \vartheta}{\sin ^{2} \vartheta}+c .
\]

Полагая $\cos \vartheta=x$, получим отсюда:
\[
A^{2} \dot{x}^{2}=-(a-b x)^{2}-2 A \mu x^{2}+2 A c\left(1-x^{2}\right) .
\]

Квадратичная форма, стоящая в правой части, будет отрицательной при $x=1$ и при $x=-1$ и положительной при некоторых значениях $x$, лежащих между -1 и +1 , так как левая часть при некоторых действительных значениях и является положительной. Следовательно, эта форма имеет два вещественных корня, лежащих между -1 и +1 . Обозначая эти корни через $\cos \alpha$ и $\cos \beta$, мы приведем это уравнение к виду:
\[
\lambda^{2} \dot{x}^{2}=(\cos \alpha-x)(x-\cos \beta),
\]

решением которого будет:
\[
x=\cos \alpha \sin ^{2} \frac{t}{2 \lambda}+\cos \beta \cos ^{2} \frac{t}{2 \lambda} .
\]