Прежде чем перейти к рассмотрению интегральных инвариантов более высоких порядков, введем понятие последнего множителя системы дифференциальных уравнений, данное Якоби ${ }^{1}$ в 1884 г.
Пусть предложена система дифференциальных уравнений:
\[
\frac{d x_{1}}{X_{1}}=\frac{d x_{2}}{X_{2}}=\cdots=\frac{d x_{n}}{X_{n}}=\frac{d x}{X},
\]

где $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, X$ суть некоторые функции переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots$, $x_{n}, x$. Предположим, что известны $n-1$ интегралов этой системы, и пусть эти интегралы будут:
\[
f_{r}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x\right)=a_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n-1) .
\]

При помощи этих интегралов мы представим величины $x_{1}, x_{2}, \ldots$, $x_{n-1}$ как функции от $x_{n}$ и $x$. Тогда еще останется проинтегрировать лишь одно уравнение первого порядка
\[
\frac{d x_{n}}{X_{n}^{\prime}}=\frac{d x}{X^{\prime}},
\]

где штрихи означают, что в функциях $X_{n}$ и $X$ величины $x_{1}, x_{2}, \ldots$, $x_{n-1}$ заменены их выражениями через $x_{n}$ и $x$.
Покажем, что интеграл этого уравнения есть
\[
\int \frac{M^{\prime}}{\Delta^{\prime}}\left(X^{\prime} d x_{n}-X_{n}^{\prime} d x\right)=\text { const, }
\]

где $М$ означает одно из решений уравнения в частных производных
\[
\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(M X_{1}\right)+\frac{\partial}{\partial x_{2}}\left(M X_{2}\right)+\cdots+\frac{\partial}{\partial x_{n}}\left(M X_{n}\right)+\frac{\partial(M X)}{\partial x}=0,
\]
${ }^{1}$ Journ. f. Math., т. 27 , стр. 199 ;. 29, стр. 213, 333.

a $\Delta$ – якобиан
\[
\frac{\partial\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n-1}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}\right)} .
\]

Функция $M$ называется последним множителем системы дифференциальных уравнений.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся следующей леммой:
Если система дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{r}}{d t}=X_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

преобразованием переменных приведена к другой системе:
\[
\frac{d y_{r}}{d t}=Y_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]
mo
\[
\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial X_{r}}{\partial x_{r}}=\frac{1}{D} \sum_{r=1}^{n} \frac{\partial\left(D Y_{r}\right)}{\partial y_{r}}
\]

где
\[
D=\frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)} .
\]

Доказательство этой леммы может быть проведено следующим образом Имеем:
\[
\begin{aligned}
\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial X_{r}}{\partial x_{r}} & =\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{r}}\left(\sum_{r=1}^{n} Y_{k} \frac{\partial x_{r}}{\partial y_{r}}\right)=\sum_{r=1}^{n} \sum_{s=1}^{n} \frac{\partial y_{s}}{\partial x_{r}} \frac{\partial}{\partial y_{s}}\left(\sum_{k=1}^{n} Y_{k} \frac{\partial x_{r}}{\partial y_{k}}\right)= \\
& =\sum_{r=1}^{n} \sum_{s=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial y_{s}}{\partial x_{r}}\left(Y_{k} \frac{\partial^{2} x_{r}}{\partial y_{s} \partial y_{k}}+\frac{\partial Y_{k}}{\partial y_{s}} \frac{\partial x_{r}}{\partial y_{k}}\right) .
\end{aligned}
\]

В последнем выражении коэффициент при $\frac{\partial Y_{k}}{\partial y_{s}}$ равен $\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial y_{s}}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}}{\partial y_{k}}$; он равен единице или нулю в зависимости от того, $k$ равно или не равно $s$. Далее, $\frac{\partial y_{s}}{\partial x_{r}}=\frac{A_{r s}}{D}$, где $A_{r s}$ означает алгебраическое дополнение определителя $D$, соответствующее элементу $\frac{\partial x_{r}}{\partial y_{s}}$. Поэтому коэффициент при $Y_{k}$ в вышеуказанном выражении, равный
\[
\sum_{r=1}^{n} \sum_{s=1}^{n} \frac{\partial y_{s}}{\partial x_{r}} \frac{\partial^{2} x_{r}}{\partial y_{s} \partial y_{k}}
\]

может быть представлен в виде:
\[
\frac{1}{D} \sum_{r=1}^{n} \sum_{s=1}^{n} A_{r s} \frac{\partial^{2} x_{r}}{\partial y_{s} \partial y_{k}} \text { или } \frac{1}{D} \sum_{r=1}^{n} \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{r-1}, \frac{\partial x_{r}}{\partial y_{k}}, x_{r+1}, \ldots, x_{n}\right)}{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)}
\]

или
\[
\frac{1}{D} \frac{\partial D}{\partial y_{k}} .
\]

Следовательно,
\[
\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial X_{r}}{\partial x_{r}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial Y_{k}}{\partial y_{k}}+\sum_{k=1}^{n} \frac{Y_{k}}{D} \frac{\partial D}{\partial y_{k}}=\frac{1}{D} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial\left(D Y_{k}\right)}{\partial y_{k}},
\]

что и доказывает лемму.
Положим теперь в первоначальной задаче
\[
\frac{d x_{1}}{X_{1}}=\frac{d x_{2}}{X_{2}}=\cdots=\frac{d x_{n}}{X_{n}}=\frac{d x}{X}=d t
\]

и перейдем от переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x$, к переменным $a_{1}, a_{2}, \ldots$, $a_{n-1}, x_{n}, x$. Тогда в силу доказанной леммы будем иметь:
\[
\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\cdots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}+\frac{\partial X}{\partial x}=\Delta\left\{\frac{\partial}{\partial x_{n}}\left(\frac{X_{n}^{\prime}}{\Delta^{\prime}}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{X^{\prime}}{\Delta^{\prime}}\right)\right\} .
\]

Поэтому величина $M$, являющаяся решением уравнения
\[
\frac{1}{M} \frac{d M}{d t}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\cdots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}+\frac{\partial X}{\partial x}=0,
\]

удовлетворяет уравнению:
\[
\frac{1}{\Delta M} \frac{d M}{d t}+\frac{\partial}{\partial x_{n}}\left(\frac{X_{n}^{\prime}}{\Delta^{\prime}}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{X^{\prime}}{\Delta^{\prime}}\right)=0
\]

или
\[
\frac{\partial}{\partial x_{n}}\left(\frac{X_{n}^{\prime} M^{\prime}}{\Delta^{\prime}}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{X^{\prime} M^{\prime}}{\Delta^{\prime}}\right)=0 .
\]

Последнее уравнение показывает, что величина
\[
\frac{M^{\prime}}{\Delta^{\prime}}\left(X^{\prime} d x_{n}-X_{n}^{\prime} d x\right)
\]

есть полный дифференциал некоторой функции от $x_{n}$ и $x$, чем и доказывается теорема о последнем множителе.

Гидродинамическое истолкование последнего множителя по Больцмну и Лярмору. (Larmor.)

Теорема о последнем множителе может быть также получена и при помощи физических рассуждений. Для упрощения ограничимся случаем трех переменных, так что система дифференциальных уравнений принимает вид:
\[
\frac{d x}{u}=\frac{d y}{v}=\frac{d z}{w},
\]

где $u, v, w$ – некоторые функции от $x, y, z$, и последний множитель удовлетворяет уравнению:
\[
\frac{\partial}{\partial x}(M u)+\frac{\partial}{\partial y}(M v)+\frac{\partial}{\partial z}(M w)=0 .
\]

Это уравнение показывает, что в гидродинамической задаче стационарного движения жидкости, имеющей в точке $(x, y, z)$ плотность $M$ и компоненты скорости $u, v, w$, выполняется уравнение неразрывности.
Пусть
\[
\varphi(x, y, z)=C
\]

есть интеграл дифференциальных уравнений. Тогда жидкость течет между поверхностями семейства, определяемого этим уравнением. Следовательно, достаточно рассматривать поток в бесконечно тонком двухмерном слое, ограниченном поверхностями $C$ и $C+\delta C$. Поток через промежуток между двумя произвольными точками $P$ и $Q$ поверхности $C$ должен быть равным для всех кривых, соединяющих эти точки. Так как сумма потоков через две дуги $P R$ и $R Q$ в точности равна потоку через дугу $P Q$, то поток через произвольную дугу $P Q$ может быть представлен в виде $f(Q)-f(P)$. Следовательно, если $d s$ означает элемент дуги, $\tau$ – переменную толщину слоя, т. е.
\[
\tau=\left\{\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} \delta C,
\]

а $\xi$ – нормальный к $d s$ компонент скорости, то
\[
\int_{P}^{Q} M \xi \tau d s=f(Q)-f(P)
\]

и, следовательно, $M \xi \tau d s$ есть полный дифференциал некоторой функции положения. Легко видеть, что это выражение может быть записано в виде $\frac{M \delta C(v d x-u d y)}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}$. Вследствие этого
\[
\frac{M(v d x-u d y)}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}
\]

есть полный дифференциал. Это и есть теорема о последнем множителе для рассматриваемого случая.
Для $\xi d s$ легко находим значение:
\[
\left(\varphi_{x}^{2}+\varphi_{y}^{2}+\varphi_{z}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left|\begin{array}{lll}
d x & d y & d z \\
u & v & w \\
\varphi_{x} & \varphi_{y} & \varphi_{z}
\end{array}\right| .
\]

Следовательно, теорема о последнем множителе показывает, что $M\left(\varphi_{x}^{2}+\right.$ $\left.+\varphi_{y}^{2}+\varphi_{z}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ есть интегрирующий множитель уравнения:
\[
\left|\begin{array}{lll}
d x & d y & d z \\
u & v & w \\
\varphi_{x} & \varphi_{y} & \varphi_{z}
\end{array}\right|=0 .
\]

Это, как заметил Аппель (Comptes Rendus, т. 155, стр. 878, 1912), есть симметричная форма теоремы о последнем множителе.