Укажем еще другой способ приведения общей задачи трех тел к системе Гамильтона шестого порядка ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Этот способ принадлежит Радо (Radau, Annales de l’École Norm. Sup., т. 5, стр. 311,1868$)$.

Преобразуем первоначальную гамильтонову систему уравнений движения ( $\$ 155$ ) при помощи контактного преобразования:
\[
q_{r}^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial p_{r}^{\prime}}, \quad p_{r}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, 9),
\]

где
\[
\begin{aligned}
W & =p_{1}^{\prime}\left(q_{4}-q_{1}\right)+p_{2}^{\prime}\left(q_{5}-q_{2}\right)+p_{3}^{\prime}\left(q_{6}-q_{3}\right)+ \\
& +p_{4}^{\prime}\left(q_{7}-\frac{m_{1} q_{1}+m_{2} q_{4}}{m_{1}+m_{2}}\right)+p_{5}^{\prime}\left(q_{8}-\frac{m_{1} q_{2}+m_{2} q_{5}}{m_{1}+m_{2}}\right)+ \\
& +p_{6}^{\prime}\left(q_{9}-\frac{m_{1} q_{3}+m_{2} q_{6}}{m_{1}+m_{2}}\right)+p_{7}^{\prime}\left(m_{1} q_{1}+m_{2} q_{4}+m_{3} q_{7}\right)+ \\
& +p_{8}^{\prime}\left(m_{1} q_{2}+m_{2} q_{5}+m_{3} q_{8}\right)+p_{9}^{\prime}\left(m_{1} q_{3}+m_{2} q_{6}+m_{3} q_{9}\right) .
\end{aligned}
\]

В новых переменных интегралы движения центра тяжести имеют вид:
\[
q_{7}^{\prime}=q_{8}^{\prime}=q_{9}^{\prime}=p_{7}^{\prime}=p_{8}^{\prime}=p_{9}^{\prime}=0 .
\]

Преобразованная система есть, следовательно, система двенадцатого порядка. Она имеет вид (опуская штрихи):
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, 6),
\]

где
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2 \mu}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\frac{1}{2 \mu^{\prime}}\left(p_{4}^{2}+p_{5}^{2}+p_{6}^{2}\right)-m_{1} m_{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}- \\
& -m_{1} m_{3}\left\{q_{4}^{2}+q_{5}^{2}+q_{6}^{2}+\frac{2 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(q_{1} q_{4}+q_{2} q_{5}+q_{3} q_{6}\right)+\right. \\
& \left.+\left(\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}}- \\
& -m_{2} m_{3}\left\{q_{4}^{2}+q_{5}^{2}+q_{6}^{2}-\frac{2 m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(q_{1} q_{4}+q_{2} q_{5}+q_{3} q_{6}\right)+\right. \\
& \left.+\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}}
\end{aligned}
\]

и
\[
\mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \quad \mu^{\prime}=\frac{m_{3}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} .
\]

Новым переменным может быть придан физический смысл следующим образом: пусть $G$ – центр тяжести $m_{1}$ и $m_{2}$. Тогда $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ суть проекции отрезка $m_{1} m_{2}$ на неподвижные оси; $q_{4}, q_{5}, q_{6}$ – проекции на те же оси отрезка $G m_{3}$. Далее,
\[
\begin{aligned}
\mu \frac{d q_{r}}{d t}=p_{r} & (r=1,2,3) ; \\
\mu^{\prime} \frac{d q_{r}}{d t}=p_{r} & (r=4,5,6) .
\end{aligned}
\]

Очевидно, новая система Гамильтона представляет уравнения движения двух материальных точек с массами $\mu$ и $\mu^{\prime}$, из которых первая находится в точке с координатами $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, а вторая – в точке с координатами $q_{4}, q_{5}, q_{6}$. При этом обе материальные точки движутся свободно в пространстве под действием сил с потенциальной энергией, представляемой теми членами в $H$, которые не содержат величин $p$. Таким образом, задача трех тел заменена задачей двух тел, движущихся под действием определенной таким способом системы сил. Идея этой замены содержится уже в исследовании Якоби, относящемся к 1843 г. ${ }^{1}$ В явной форме она выражена впервые Бертраном ${ }^{2}$ в 1852 г.

Выберем оси координат таким образом, чтобы плоскость $x y$ являлась неизменяемой плоскостью для движения точек $\mu, \mu^{\prime}$, т. е. чтобы момент количества движения относительно всякой прямой плоскости $x y$ обращался в нуль.

Преобразуем систему Гамильтона двенадцатого порядка при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
\[
q_{r}=\frac{\partial W}{\partial p_{r}}, \quad p_{r}^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2, \ldots, 6),
\]

где
\[
\begin{aligned}
W & =\left(p_{2} \sin q_{5}^{\prime}+p_{1} \cos q_{5}^{\prime}\right) q_{1}^{\prime} \cos q_{3}^{\prime}+q_{1}^{\prime} \sin q_{3}^{\prime}\left\{\left(p_{2} \cos q_{5}^{\prime}-p_{1} \sin q_{5}^{\prime}\right)^{2}+p_{3}^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}+ \\
& +\left(p_{5} \sin q_{6}^{\prime}+p_{4} \cos q_{6}^{\prime}\right) q_{2}^{\prime} \cos q_{4}^{\prime}+q_{2}^{\prime} \sin q_{4}^{\prime}\left\{\left(p_{5} \cos q_{6}^{\prime}-p_{4} \sin q_{6}^{\prime}\right)^{2}+p_{6}^{2}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\end{aligned}
\]

Новые переменные, как это нетрудно видеть, имеют следующее физическое значение: $q_{1}^{\prime}$ и $q_{2}^{\prime}$ суть радиусы-векторы, соединяющие начало координат с точками $\mu$ и $\mu^{\prime} ; q_{3}^{\prime}$ есть угол между $q_{1}^{\prime}$ и прямой пересечения (или узлом) неизменяемой плоскости с плоскостью двух последовательных положений $q_{1}^{\prime}$ (которую мы будем называть плоскостью мгновенного движения точки $\mu$ ); $q_{4}^{\prime}$ – угол между $q_{2}^{\prime}$ и узлом неизменяемой плоскости с плоскостью мгновенного движения точки $\mu^{\prime} ; q_{5}^{\prime}-$ угол между $O x$ и первым узлом; $q_{6}^{\prime}$ – угол между $O x$ и вторым узлом;
${ }^{1}$ Journ. f.Math., т. 26, стр. 115.
${ }^{2}$ Journ. de Math., т. 17. стр, 393.

далее, $p_{1}^{\prime}$ равно $\mu \dot{q}_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}$ равно $\mu^{\prime} \dot{q}_{2}^{\prime}, p_{3}^{\prime}$ есть момент количества движения точки $\mu$ относительно начала координат, $p_{4}^{\prime}$ – момент количества движения точки $\mu^{\prime}$ относительно начала координат, $p_{5}^{\prime}$ – момент количества движения относительно перпендикуляра, проведенного из начала координат к неизменяемой плоскости, $p_{6}^{\prime}$ – момент количества движения точки $\mu^{\prime}$ относительно этой же прямой.
Уравнения движения принимают новый вид (§138):
\[
\frac{d q_{r}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2, \ldots, 6),
\]

где функция $H$ должна быть выражена через новые переменные. Эту систему мы преобразуем при помощи контактного преобразования:
\[
p_{r}^{\prime \prime}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}^{\prime \prime}}, \quad q_{r}^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial p_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2, \ldots, 6),
\]

где
\[
W=q_{5}^{\prime \prime}\left(p_{5}^{\prime}-p_{6}^{\prime}\right)+q_{6}^{\prime \prime}\left(p_{5}^{\prime}+p_{6}^{\prime}\right)+q_{1}^{\prime \prime} p_{1}^{\prime}+q_{2}^{\prime \prime} p_{2}^{\prime}+q_{3}^{\prime \prime} p_{3}^{\prime}+q_{4}^{\prime \prime} p_{4}^{\prime} .
\]

Тогда уравнения движения переходят в
\[
\frac{d q_{r}^{\prime \prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime \prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime \prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime \prime}} \quad(r=1,2, \ldots, 6) .
\]

Но $H$ не содержит $q_{6}^{\prime \prime}$, как это можно заключить или из непосредственного выражения $H$ через новые переменные, или из того обстоятельства, что $q_{6}^{\prime \prime}$ зависит от положения произвольно выбираемой оси $O x$, в то время как все остальные координаты от этого не зависят. Поэтому имеем:
\[
p_{6}^{\prime \prime}=-\frac{\partial H}{\partial q_{6}^{\prime \prime}}=0 ;
\]

следовательно,
\[
p_{6}^{\prime \prime}=k,
\]

где $k$ – постоянная. Это уравнение представляет собой не что иное, как один из интегралов моментов количества движения. Заменяя в выражении $H$ величину $p_{6}^{\prime \prime}$ ее значением $k$, мы сможем уравнение
\[
\dot{q}_{6}^{\prime \prime}=\frac{\partial H}{\partial k}
\]

проинтегрировать простой квадратурой, если только будут предварительно проинтегрированы все остальные уравнения. Поэтому уравнения для $p_{6}^{\prime \prime}$ и $q_{6}^{\prime \prime}$ могут быть отделены от системы, и последняя приводится к системе десятого порядка:
\[
\frac{d q_{r}^{\prime \prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime \prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime \prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime \prime}} \quad(r=1,2, \ldots, 5) .
\]

Мы должны еще использовать оба остальных интеграла моментов. Нетрудно видеть, что в новых переменных они имеют вид:
\[
q_{5}^{\prime \prime}=90^{\circ}, \quad k p_{5}^{\prime \prime}=p^{\prime \prime}{ }_{3}^{2}-p^{\prime \prime}{ }_{4}^{2} .
\]

Так как плоскость $x y$ есть неизменяемая плоскость, то в эти интегралы не входят произвольные постоянные интегрирования. Теперь система уравнений движения может быть заменена обоими этими интегралами и уравнениями:
\[
\frac{d q_{r}^{\prime \prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime \prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime \prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime \prime}} \quad(r=1,2,3,4) .
\]

В этой системе $q_{5}^{\prime \prime}$ может быть заменено через $90^{\circ}$ до вычисления производных от $H$, а $p_{5}^{\prime \prime}$ должно быть заменено его значением $\frac{\left(p^{\prime 2}{ }_{3}^{2}-p^{\prime \prime}{ }_{4}^{2}\right)}{k}$ после этого вычисления. Обозначим через $H^{\prime}$ функцию, в которую переходит $H$ после замены в ней $p_{5}^{\prime \prime}$ только что указанным его значением, а через $s$ – одну из переменных $q_{1}^{\prime \prime}, q_{2}^{\prime \prime}, q_{3}^{\prime \prime}, q_{4}^{\prime \prime}, p_{1}^{\prime \prime}, p_{2}^{\prime \prime}, p_{3}^{\prime \prime}, p_{4}^{\prime \prime}$; будем иметь:
\[
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial s}=\frac{\partial H}{\partial s}+\frac{\partial H}{\partial p_{5}^{\prime \prime}}-\frac{\partial p_{5}^{\prime \prime}}{\partial s}=\frac{\partial H}{\partial s}+\dot{q}_{5}^{\prime \prime} \frac{\partial p_{5}^{\prime \prime}}{\partial s}=\frac{\partial H}{\partial s} .
\]

Поэтому замену $p_{5}^{\prime \prime}$ в $H$ можно произвести до вычисления его производных. Таким образом, система уравнений движения приведена к системе восьмого порядка, которая при опускании штрихов представится в виде:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2,3,4) .
\]

Здесь $H$ по выполнении указанных преобразований примет вид:
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2 \mu}\left(p_{1}^{2}+\frac{p_{3}^{2}}{q_{1}^{2}}\right)+\frac{1}{2 \mu^{\prime}}\left(p_{2}^{2}+\frac{p_{4}^{2}}{q_{2}^{2}}\right)-m_{1} m_{2} q_{1}^{-1}- \\
& -m_{1} m_{3}\left\{q_{2}^{2}-\frac{2 m_{2} q_{1} q_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\cos q_{3} \cos q_{4}-\frac{k^{2}-p_{3}^{2}-p_{4}^{2}}{2 p_{3} p_{4}} \sin q_{3} \sin q_{4}\right)+\right. \\
& \left.+\frac{m_{2}^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}} q_{1}^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}}- \\
& -m_{2} m_{3}\left\{q_{2}^{2}-\frac{2 m_{1} q_{1} q_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\cos q_{3} \cos q_{4}-\frac{k^{2}-p_{3}^{2}-p_{4}^{2}}{2 p_{3} p_{4}} \sin q_{3} \sin q_{4}\right)+\right. \\
& \left.+\frac{m_{1}^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}} q_{1}^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} .
\end{aligned}
\]

Полученная система может быть преобразована (способом, указанным в $§ 141$, т. е. при помощи интеграла энергии и исключения времени) в систему шестого порядка. Но мы, однако, не приводим здесь этого преобразования, так как оно нам в дальнейшем не понадобится.