Мы переходим теперь к рассмотрению периодических решений задачи трех тел.

Примем уравнения движения в приведенной форме § 160 и выясним сначала, могут ли существовать такие частные решения, при которых взаимные расстояния между телами остаются неизменными во все время движения.
Расстояния между телами равны соответственно:
$$q_1,{\{q_2^2-\frac{2m_2{q}_1{q}_2}{m_1+m_2}(\cos q_3\cos q_4-\frac{k^2-p_3^2-p_4^2}{2p_3{p}_4}\sin q_3\sin q_4)+\frac{m_2^2}{{(m_1+m_2)}^2}{q}_1^2\}}^{\frac{1}{2}}$$

и
$${\{q_2^2+\frac{2m_1{q}_1{q}_2}{m_1+m_2}(\cos q_3\cos q_4-\frac{k^2-p_3^2-p_4^2}{2p_3{p}_4}\sin q_3\sin q_4)+\frac{m_1^2}{{(m_1+m_2)}^2}{q}_1^2\}}^{\frac{1}{2}}.$$

Отсюда следует, что для рассматриваемого частного решения должны оставаться постоянными величины:
$$q_1,q_2\text{ и }\cos q_3\cos q_4-\frac{k^2-p_3^2-p_4^2}{2p_3{p}_4}\sin q_3\sin q_4$$

и, следовательно, также величины $U,\frac{\partial U}{\partial q_1},\frac{\partial U}{\partial q_2}$, где
$$U=\sum m_1{m}_2{r}_{12}^{-1}\text{. }$$

Уравнения:
$$0={\dot{q}}_1=\frac{\partial H}{\partial p_1}=\frac{p_1}{\mu },0={\dot{q}}_2=\frac{\partial H}{\partial p_2}=\frac{p_2}{\mu ,}$$

показывают, что $p_1$ и $p_2$ должны быть постоянно равны нулю, а уравнения:
$$0={\dot{p}}_1=-\frac{\partial H}{\partial q_1}=\frac{p_3^2}{\mu q_1^3}+\frac{\partial U}{\partial q_1},0={\dot{p}}_2=-\frac{\partial H}{\partial q_2}=\frac{p_4^3}{{\mu }^{\prime }{q}_2^3}+\frac{\partial U}{\partial q_2},$$

что $p_3$ и $p_4$ должны быть постоянными.
Кроме того, уравнения:
$$0={\dot{p}}_3=-\frac{\partial H}{\partial q_3},0={\dot{p}}_4=-\frac{\partial H}{\partial q_4}$$

показывают, что выражения:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial q_3}(\cos q_3\cos q_4-\frac{k^2-p_3^2-p_4^2}{2p_3{p}_4}\sin q_3\sin q_4),\\ \frac{\partial }{\partial q_4}(\cos q_3\cos q_4-\frac{k^2-p_3^2-p_4^2}{2p_3{p}_4}\sin q_3\sin q_4)\end{array}$$

равны нулю. Поэтому
$$\mathrm{tg}{q}_3\mathrm{ctg}{q}_4=\mathrm{ctg}{q}_3\mathrm{tg}{q}_4=\frac{p_3^2+p_4^2-k^2}{2p_3{p}_4},$$

откуда
$$p_3^2+p_4^2-k^2=\pm 2p_3{p}_4$$

или
$$k^2={(p_3\pm p_4)}^2.$$

Это уравнение показывает, что плоскости мгновенных движений тел $\mu$ и ${\mu }^{\prime }$ совпадают с плоскостью, проходящей через оба тела и начало. Другими словами, тела $\mu$ и ${\mu }^{\prime }$ движутся в одной плоскости. Вследствие этого тела $m_1,m_2,m_3$ также движутся в одной плоскости.

Если мы примем, что центр тяжести $O$ находится в покое, то отсюда следует, что материальные точки $m_1,m_2$ и $m_3$, которые мы обозначим через $P,Q$ и $R$, описывают окружности с центром в точке $O$. Но необходимо еще исследовать, является ли такое движение действительно возможным.

Очевидно, что для этого необходимо, чтобы результирующая двух сил, с которыми две материальные точки действуют на третью, была направлена по прямой, соединяющей эту третью точку с центром тяжести. Это условие будет выполнено, если все три точки не лежат на одной прямой. Если же все эти точки не лежат на одной прямой, то тогда будем иметь:
$$\frac{m_1}{P{R}^2}\sin PRO=\frac{m_2}{Q{R}^2}\sin QRO$$

и еще два аналогичных условия.
Но так как $O$ есть центр тяжести системы, то
$$\frac{m_1\sin PRO}{m_2\sin QRO}=\frac{\sin QPR}{\sin PQR}=\frac{QR}{PR}.$$

Это и предыдущее уравнения показывают, что $PR=QR$. Аналогично можно получить, что $PR=PQ$.

Следовательно, материальные точки должны либо лежать на одной прямой, либо образовывать равносторонний треугольник.

Рассмотрим сначала первый случай. Пусть $a_1,a_2$ и $a_3$ означают расстояния материальных точек от центра тяжести при определенном выборе положительного направления.

Не нарушая общности рассуждений, мы можем предположить, что $a_1<a_2<a_3$. Так как сила, действующая на $P$, должна соответствовать круговому движению вокруг $O$, то
$$n^2{a}_1=-m_2{(a_2-a_1)}^{-2}-m_3{(a_3-a_1)}^{-2},$$

где $n$ — угловая скорость прямой $PQR$. Аналогично
$$\begin{array}{l}{n}^2{a}_2=-m_3{(a_3-a_2)}^{-2}-m_1{(a_2-a_1)}^{-2},\\ n^2{a}_3=m_1{(a_3-a_1)}^{-2}-m_2{(a_3-a_2)}^{-2}.\end{array}$$

Из этих уравнений непосредственно вытекает:
$$m_1{k}^2\{(1+k{)}^3-1\}+m_2(1+k{)}^2(k^3-1)+m_3\{k^3-(1+k{)}^3\}=0,$$

где
$$k=\frac{a_3-a_2}{a_2-a_1}.$$

Мы получили уравнение пятой степени относительно $k$ с вещественными коэффициентами. Левая часть этого уравнения принимает отрицательное значение при $k=0$ и положительное значение при $k=+\mathrm{\infty }$. Следовательно, оно имеет по меньшей мере один положительный действительный корень. Этот корень однозначно определяет действительные значения для отношений $a_1:a_2:a_3$. Если $n$ задано, то все три расстояния $a_1,a_2,a_3$ могут быть полностью вычислены. Следовательно, существует бесчисленное множество частных решений задачи трех тел, при которых тела все время остаются на одной прямой на постоянных расстояниях друг от друга. Эта прямая равномерно вращается; если ее угловая скорость задана (произвольно), то этим самым определяются взаимные расстояния между телами.

Рассмотрим теперь случай, когда тела образуют равносторонний треугольник. Обозначим сторону треугольника через $a$, а его угловую скорость — через $n$. Так как сила, действующая на $m_3$, должна соответствовать круговому движению вокруг точки $O$, то должно выполняться условие:
$$\frac{m_1}{a^2}\cos PRO+\frac{m_2}{a^2}\cos QRO=n^2\cdot OR$$

Это условие приводится к следующему:
$$m_1+m_2+m_3=n^2{a}^3.$$

К этому же соотношению приводятся и условия движения для точек $Q$ и $R$. Поэтому движение рассматриваемого вида возможно, если $a$ и $n$ связаны этим соотношением. Следовательно, существует бесчисленное множество частных решений задачи трех тел, при котором тела образуют равносторонний треугольник постоянной величины, равномерно вращающийся в плоскости своего движения; величина треугольника определяется произвольно задаваемой угловой скоростью вращения.

Полученные два частных вида движения называются соответственно лагранжевыми коллинеарными и эквидистантными материальными точками ${}^1$.

В течение более ста лет после открытия Лагранжа считали, что это открытие имеет только теоретический интерес. Но в 1906 г. была открыта новая малая планета 588 Achilles, обладающая тем же средним расстоянием, что и Юпитер. И действительно, можно показать, что Солнце, Юпитер и Ахиллес, по крайней мере приближенно, представляют собой пример лагранжевых эквидистантных точек. Немного времени спустя последовало открытие еще трех астероидов: 617 Патрокла, 624 Гектора и 659 Нестора, для которых справедливо то же самое ${}^2$. Из этой группы Патрокл имеет долготу ${60}^{\circ }$, а остальные три долготу — ${60}^{\circ }$ относительно Юпитера.
${}^1$ Lagrange, Oeuvres, т. 6, стр. 229. Относительно литературы по вопросу о распространении этого результата на задачу $n$ тел см. статью автора в «Encyklopädie» d. math. Wiss., т. $6,2,12$, стр. 529 ; из указанных там исследований отметим следующие: E. O. Lovett, Annali di Mat (3), т. 11, стр. 1, 1904; W.R. Longley, Bull. Amer. Math. Soc., т. 13, стр. 324, 1907; F. R. Moulton, Annals of Math., т. 12, стр. 1, 1910.
${}^2$ Cм. F. I. Linders, Arkiv för Mat., т. 4. № 20. 1908.

ЗАДАчА 1. Показать, что существуют частные решения задачи трех тел, при которых тела остаются коллинеарными или эквидистантными, но расстояния между ними не остаются постоянными, а являются периодическими функциями времени.

Эти решения являются, очевидно, периодическими и содержат лагранжевы решения как предельный случай.