Важнейшим, разрешимым в квадратурах, случаем движения точки по поверхности является следующий: материальная точка движется без трения по поверхности вращения под действием силы, определяемой потенциалом, симметричным относительно оси вращения. Пусть положение точки в пространстве определяется цилиндрическими координатами $z, r, \varphi$, причем ось $z$ взята в направлении оси вращения, $r$ есть расстояние тогии до этой оси, а азимут $\varphi$ – есть угол меяду $r$ и неподвияной плоскостью, проходящей через ось вращения.
Уравнение поверхности будет иметь вид:
\[
r=f(z) .
\]
${ }^{1}$ Движение материальной точки по поверхности вращения исследовано Ньютоном (Principia, книга 1, раздел 10).

Потенциальная функция будет функцией $z$ и $r$ (она не может содержать $\varphi$ вследствие ее симметрии относительно оси вращения). Для точки, лежащей на поверхности, она может быть представлена в виде $V(z)=$ функции только $z$, так как $r$ можно заменить его значением $f(z)$. Масса точки пусть равна единице. Согласно $\S 18$ кинетическая энергия будет:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{z}^{2}+\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}\right)=\frac{1}{2}\left\{\left[f^{\prime}(z)^{2}+1\right] \dot{z}^{2}+[f(z)]^{2} \dot{\varphi}^{2}\right\} .
\]

Очевидно, $\varphi$ есть циклическая координата; ей соответствует интеграл
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=k,
\]

где $k$ есть постоянная, или
\[
[f(z)]^{2} \dot{\varphi}=k .
\]

Это уравнение можно понимать как интеграл момента количества движения относительно оси вращения.
Уравнение энергии будет:
\[
T+V=h,
\]

где $h$ – постоянная. Если мы вставим сюда значение $\dot{\varphi}$ из предыдущего равенства, то получим:
\[
\left[f^{\prime}(z)^{2}+1\right] \dot{z}^{2}+k^{2} f(z)^{-2}+2 V(z)=2 h .
\]

Интеграция этого уравнения дает:
\[
t=\int\left[f^{\prime}(z)^{2}+1\right]^{\frac{1}{2}}\left[2 h-2 V(z)-k^{2} f(z)^{-2}\right]^{-\frac{1}{2}} d z+\text { const. }
\]

Таким образом, соотношение между $t$ и $z$ получено одной квадратурой. Значения $r$ и $\varphi$ определяются из уравнения поверхности и из уравнения:
\[
f(z)^{2} \dot{\varphi}=k .
\]

Рассмотрим теперь движение по такой поверхности, для которой эти квадратуры выполняются с помощью известных функций.

Мы будем предполагать, что ось $z$ направлена вертикально вверх и что тяжесть – единственная внешняя сила, т. е.
\[
V(z)=g z .
\]

1. Круговой цилиндр. Для кругового цилиндра $r=a$ предыдущим интегралом будет:
\[
t=\int\left(2 h-2 g z-\frac{k^{2}}{a^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}} d z .
\]

Если начало координат выбрать так, чтобы $2 h a^{2}=k^{2}$, то получим:
\[
t=\int(-2 g z)^{-\frac{1}{2}} d z
\]

или
\[
z=-\frac{1}{2} g\left(t-t_{0}\right)
\]

где $t_{0}$ – постоянная.
Уравнение
\[
a^{2} \dot{\varphi}=k
\]

тогда дает:
\[
\varphi-\varphi_{0}=\frac{k}{a^{2}}\left(t-t_{0}\right),
\]

где $\varphi_{0}$ – тоже постоянная.
2. Шар. Случай, когда поверхность есть шар
\[
r=\left(l^{2}-z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}
\]

представляет задачу сферического маятника ${ }^{1}$. Такое движение может быть получено следующим образом: тяжелая точка соединена с неподвижной точкой твердым, невесомым стержнем, который может свободно вращаться вокруг этой неподвижной точки.
В этом случае для $t$ получаем выражение:
\[
t=\int\left\{\frac{z^{2}}{l^{2}-z^{2}}+1\right\}^{\frac{1}{2}}\left\{2 h-2 g z-\frac{k^{2}}{l^{2}-z^{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}} d z
\]

или
\[
t=l \int\left\{(2 h-2 g z)\left(l^{2}-z^{2}\right)-k^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} d z .
\]
${ }^{1}$ Langrange, Mecanique Analytique. Полное решение в якобиевых эллиптических функциях дал Тиссо (A. Tissot. Journal Math. (1), т. 17, стр. 88, 1852); собственное решение Якоби с помощью эллиптических функций задачи вращающегося твердого тела опубликовано уже в 1839 г.

Проблема сферического маятника сводится в основном к решению дифференциальных уравнений Ляме второго порядка.

В правой части стоит эллиптический интеграл, который может быть приведен к канонической форме Вейерштрасса. Пусть $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ означают корни кубического уравнения
\[
2(h-g z)\left(l^{2}-z^{2}\right)-k^{2}=0 .
\]

Выражение
\[
2(h-g z)\left(l^{2}-z^{2}\right)-k^{2}
\]

при $z=l$ и при $z=-l$ отрицательно, при достаточно же больших положительных значениях $z$, а также при некоторых значениях $z$, относящихся к нашей задаче (эти значения лежат между $-l$ и $+l$, так как точка остается на шаре), оно положительно. Поэтому один из корней, например $z_{1}$, должен быть больше $l$, а оба другие, из которых пусть $z_{2}>z_{3}$, должны лежать между $-l$ и $+l$. Значения $z$ для действительного движения находятся между $z_{2}$ и $z_{3}$, так как подрадикальное выражение должно быть положительным. Положим
\[
z=\frac{h}{3 g}+\frac{2 l^{2}}{g} \zeta,
\]

где $\zeta$ – новая переменная, и
\[
z_{r}=\frac{h}{3 g}+\frac{2 l^{2}}{g} e_{r} \quad(r=1,2,3),
\]

где $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ – новые постоянные, удовлетворяющие уравнению:
\[
e_{1}+e_{2}+e_{3}=\frac{g}{2 l^{2}}\left(z_{1}+z_{2}+z_{3}-\frac{h}{g}\right)=0
\]

и условию $e_{1}>e_{2}>e_{3}$.
Уравнение, связывающее $t$ и $z$, примет вид:
\[
t=\int\left\{4\left(\zeta-e_{1}\right)\left(\zeta-e_{2}\right)\left(\zeta-e_{3}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}} d \zeta
\]

или
\[
\zeta=\wp(t+\varepsilon),
\]

где $\varepsilon$ – постоянная интегрирования, а ю образована при помощи корней $e_{1}, e_{2}, e_{3}$. Если $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ являются действительными и расположены в убывающем порядке, то функции $\wp(u)$ и $\wp^{\prime}(u)$ обе действительны, когда $u$ действительно (при этом $\wp$ больше $e_{1}$ ) и когда $u$ имеет вид $u=\omega_{3}$ действительная величина, где $\omega_{3}$ – полупериод, соответствующий корню $e_{3}$. В последнем случае $\wp(u)$ лежит между $e_{2}$ и $e_{3}$. При действительном движении $z$ находится между $z_{2}$ и $z_{3}$; следовательно, $\zeta$ – между $e_{2}$ и $e_{3}$. Постоянная $\varepsilon$ поэтому должна состоять из мнимой части $\omega_{3}$ и вещественной части, зависящей от начального момента времени. Подходящим выбором нулевого момента времени последнюю часть можно сделать равной нулю, и тогда связь между $z$ и $t$ получим в виде:
\[
z=\frac{h}{3 g}+\frac{2 l^{2}}{g} \wp\left(t+\omega_{3}\right) .
\]

Азимут $\varphi$ определяется уравнением:
\[
d \varphi=\frac{k}{r^{2}} d t=\frac{k d t}{l^{2}-z^{2}} .
\]

Поэтому имеем:
\[
\varphi-\varphi_{0}=k \int \frac{d t}{l^{2}-\left\{\frac{h}{3 g}+\frac{2 l^{2}}{g} \wp\left(t+\omega_{3}\right)\right\}^{2}},
\]

где $\varphi_{0}$ – постоянная интегрирования.
Для выполнения интегрирования обозначим через $\lambda$ и $\mu$ значение величины $t+\omega_{3}$ при $z$, соответственно равном $l$ и $-l$. Уравнениями, определяющими постоянные $\lambda$ и $\mu$, будут:
\[
l-\frac{h}{3 g}=\frac{2 l^{2}}{g^{\prime}} \wp(\lambda), \quad-l-\frac{h}{3 g}=\frac{2 l^{2}}{g^{+}} \wp(\mu) .
\]

Из них следует:
\[
\wp^{\prime}(\lambda)=\wp^{\prime}(\mu)=\frac{i k g}{2 l^{3}} .
\]

Тогда интеграл преобразовывается следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\varphi-\varphi_{0} & =-\frac{k g^{2}}{4 l^{4}} \int \frac{d t}{\left\{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(\lambda)\right\}\left\{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(\mu)\right\}}= \\
& =-\frac{k g}{4 l^{3}} \int\left\{\frac{d t}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(\lambda)}-\frac{d t}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(\mu)}\right\}= \\
& =\frac{i}{2} \int\left\{\frac{\wp^{\prime}(\lambda) d t}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(\lambda)}-\frac{\wp^{\prime}(\mu) d t}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(\mu)}\right\} .
\end{aligned}
\]
$\mathrm{Ho}^{1}$
\[
\frac{\wp^{\prime}(\lambda)}{\wp(z)-\wp(\lambda)}=\zeta(z-\lambda)-\zeta(z+\lambda)+2 \zeta(\lambda),
\]
${ }^{1}$ Уиттекер и Ватсон. Курс современного анализа, $\S 20,53$, пример 2.

поэтому
\[
\int \frac{\wp^{\prime}(\lambda) d t}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(\lambda)}=\ln \frac{\sigma\left(t+\omega_{3}-\lambda\right)}{\sigma\left(t+\omega_{3}+\lambda\right)}+2 \zeta(\lambda) t,
\]

и, следовательно,
\[
e^{2 i\left(\varphi-\varphi_{0}\right)}=e^{2\{\zeta(\mu)-\zeta(\lambda)\} t} \frac{\sigma\left(t+\omega_{3}-\mu\right) \sigma\left(t+\omega_{3}+\lambda\right)}{\sigma\left(t+\omega_{3}+\mu\right) \sigma\left(t+\omega_{3}-\lambda\right)} .
\]

Это равенство, определяющее $\varphi$ в функции $t$, и решает до конца задачу. Можно показать, что если $t$ возрастает на величину $\omega_{1}$, то $\varphi_{1}$ увеличивается на величину:
\[
-2 i \omega_{1}\{\zeta(\mu)-\zeta(\lambda)\}-2 i \eta_{1}(\lambda-\mu) .
\]

Задача 1. Конец сферического маятника совершает периодические колебания между двумя параллельными кругами шара. Показать, что разность азимутов движущейся точки в ее положениях на верхнем круге и на нижнем, параллельном круге, которого она достигает через полупериод, находится в пределах между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. (Puiseux и Halphen.) Периодические решения задачи сферического маятника исследовал F. R. Moulton (Palermo Rend., T. 32, стр. 338, 1911).
3. Параболоид. Разберем теперь движение по параболоиду
\[
r=2 a^{\frac{1}{2}} z^{\frac{1}{2}} .
\]

В этом случае имеем:
\[
t=\int(a+z)^{\frac{1}{2}}\left(2 h z-2 g z^{2}-\frac{k^{2}}{4 a}\right)^{-\frac{1}{2}} d z .
\]

Чтобы получить решение задачи в эллиптических функциях, введем вспомогательную величину $v$, определяемую равенством:
\[
v=\int^{z}(a+z)^{-\frac{1}{2}}\left(2 h z-2 g z^{2}-\frac{k^{2}}{4 a}\right)^{-\frac{1}{2}} d z .
\]

Пусть $\alpha$ и $\beta(\alpha \geqslant \beta)$ – корни квадратного уравнения
\[
2 h z-2 g z^{2}-\frac{k^{2}}{4 a}=0 .
\]

Тогда последний интеграл можно написать в форме:
\[
v=\left(-\frac{g}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \int^{z}\{4(z+a)(z-\beta)(z-\alpha)\}^{-\frac{1}{2}} d z .
\]

Определим новую переменную $\zeta$ равенством
\[
z=-(a+\alpha) \zeta+\frac{-a+\alpha+\beta}{3} .
\]

Пусть также $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ – значения $\zeta$, соответствующие значениям $a, \beta$ и $\alpha$ величины $z$. Тогда интеграл будет иметь вид:
\[
\left\{\frac{g(a+\alpha)}{2}\right\}^{\frac{1}{2}} v=\int_{\zeta}\left\{4\left(\zeta-e_{1}\right)\left(\zeta-e_{2}\right)\left(\zeta-e_{3}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}} d \zeta
\]

и можно легко показать, что
\[
e_{1}+e_{2}+e_{3}=0, \quad e_{1}>e_{2}>e_{3} .
\]

Теперь введем величину $u$, определяемую равенством
\[
v=\left\{\frac{2}{g(a+\alpha)}\right\}^{\frac{1}{2}} u .
\]

Обращение интеграла тогда дает:
\[
\zeta=\wp(u+\varepsilon),
\]

где $\varepsilon$ – постоянная интеграции, а $ю$ образована с помощью корней $e_{1}, e_{2}, e_{3}$, которые даются равенствами:
\[
e_{1}=\frac{2 a+\alpha+\beta}{3(a+\alpha)}, \quad e_{2}=\frac{-a+\alpha-2 \beta}{3(a+\alpha)}, \quad e_{3}=\frac{-a-2 \alpha+\beta}{3(a+\alpha)} .
\]

Так как при действительном движении $z$, очевидно, находятся между $\alpha$ и $\beta$, то $\wp(u+\varepsilon)$ должно заключаться между $e_{3}$ и $e_{2}$; так как $u$ должно оставаться вещественным, поэтому мнимая часть постоянной $\varepsilon$ должна быть равна полупериоду $\omega_{3}$. Вещественную часть можно предположить равной нулю, так как $u$ зависит лишь от нижнего предела интеграла. Таким образом, имеем:
\[
z=-(a+\alpha) \wp\left(u+\omega_{3}\right)+\frac{h-a g}{3 g}, \quad \text { так как } \alpha+\beta=\frac{h}{g} .
\]

Уравнением, определяющим $t$, будет:
\[
\begin{array}{c}
t=\int(a+z) d v=-\left\{\frac{2(a+\alpha)}{g}\right\}^{\frac{1}{2}} \int\left\{\wp\left(u+\omega_{3}\right)-e_{1}\right\} d u, \\
t=-\left\{\frac{2(a+\alpha)}{g}\right\}^{\frac{1}{2}}\left\{-\zeta\left(u+\omega_{3}\right)-e_{1} u\right\} .
\end{array}
\]

Этим самым $t$ определено как функция вспомогательного переменного $u$.
Найдем теперь азимут $\varphi$. Имеем:
\[
d \varphi=\frac{k d t}{r^{2}}=\frac{k d t}{4 a z}=\frac{k}{4 a}\left\{\frac{2}{g(a+\alpha)}\right\}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\wp\left(u+\omega_{3}\right)-e_{1}}{\wp\left(u+\omega_{3}\right)-\frac{-a+\alpha+\beta}{3(a+\alpha)}} d u
\]

и поэтому
\[
\begin{array}{c}
\frac{4 a}{k}\left\{\frac{g(a+\alpha)}{2}\right\}^{\frac{1}{2}}\left(\varphi-\varphi_{0}\right)= \\
=u+\left\{\frac{-a+\alpha+\beta}{3(a+\alpha)}-e_{1}\right\} \int \frac{d u}{\wp\left(u+\omega_{3}\right)-\frac{-a+\alpha+\beta}{3(a+\alpha)}}= \\
=u-\frac{a(a+\alpha)^{\frac{1}{2}}(-2 g)^{\frac{1}{2}}}{k} \int \frac{\wp^{\prime}(l) d u}{\wp\left(u+\omega_{3}\right)-\wp(l)},
\end{array}
\]

где $\varphi_{0}$ – постоянная интеграция, а $l$ – вспомогательная постоянная, определяемая равенством
\[
\wp(l)=\frac{-a+\alpha+\beta}{3(a+\alpha)} ; \quad \text { следовательно, } \quad \wp^{\prime}(l)=\frac{k}{(-2 g)^{\frac{1}{2}}(a+\alpha)^{\frac{3}{2}}} .
\]

Теперь уравнение для $\varphi$ можем написать так:
\[
\varphi-\varphi_{0}=\frac{k u}{a\{8 g(a+\alpha)\}^{\frac{1}{2}}}-\frac{i}{2} \int \frac{\wp^{\prime}(l) d u}{\wp\left(u+\omega_{3}\right)-\wp(l)} .
\]

Интегрирование (как и в задаче сферического маятника) дает:
\[
e^{2 i\left(\varphi-\varphi_{0}\right)}=e^{\left[\frac{2 i k}{a\{8 g(a+\alpha)\}^{\frac{1}{2}}+2 \zeta(l)}\right] u} \frac{\sigma\left(u+\omega_{3}-l\right)}{\sigma\left(u+\omega_{3}+l\right)} .
\]

Это уравнение, определяющее $\varphi$ через вспомогательную переменную $u$, и дает полное решение задачи.
4. Конус. Рассмотрим, наконец, движение по конусу
\[
r=z \operatorname{tg} \alpha,
\]

где $\alpha$ – половина угла раствора.

Так как эта поверхность развертывающаяся, то можно применить результаты $§ 54$. Вследствие этого траектория точки, движущейся по конусу под действием тяжести, будет такой же, какую опишет точка единичной массы, двигаясь по развертке конуса на плоскость, под действием постоянной, центральной, притягивающей силы $g \cos \alpha$. (Силовой центр плоскости соответствует вершине конуса.) Получаем, таким образом, известный случай центрального движения, в котором задача решается в эллиптических функциях. Следовательно, тотчас же получаем и решение задачи движения по конусу.
ЗАДАчА 2. Показать, что движение точки под действием тяжести по поверхности вращения с вертикальной осью может быть выражено в эллиптических функциях, если поверхность задана одним из следующих уравнений:
\[
\begin{array}{c}
9 a r^{2}=z(z-3 a)^{2}, \\
2 r^{4}+3 a^{2} r^{2}-2 z a^{3}=0, \\
\left(r^{2}-a z-\frac{1}{2} a^{2}\right)^{2}=a^{3} z .
\end{array}
\]

ЗАдАчА 3. Показать, что та же задача разрешима в эллиптических функциях, если поверхность задана в виде:
\[
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}+2 a^{6}=8 a^{3} z\left(x^{2}+y^{2}\right)
\]
(Salkowski).
ЗадАчА 4. Показать, что если алгебраическая поверхность вращения обладает тем свойством, что геодезические линии могут быть выражены в виде эллиптических функций параметра, то для этой поверхности $r^{2}$ и $z$ могут быть выражены рационально в функции некоторого параметра. Т. е. уравнение поверхности, рассматриваемое как соотношение между $r^{2}$ и $z$, есть уравнение уникурсальной кривой. При этом $z, r, \varphi$ суть цилиндрические координаты точки поверхности. (Kobb.)

ЗАДАчА 5. Показать, что в следующих случаях движения точки по поверхности вращения все траектории будут замкнутыми:
1. Если поверхность есть шар, а сила действует в направлении касательной к меридиану и пропорциональна величине $\sin ^{-\frac{1}{2}} \vartheta$, где $\vartheta-$ половина высоты точки (траектории суть сферические коники с фокусом в полюсе).
2. Если поверхность есть шар, а сила действует в направлении меридиана и пропорциональна величине $\sin \vartheta \cos ^{-3} \vartheta$ (траектории – сферические коники с центром в полюсе) ${ }^{1}$.