Пусть в любой момент времени $t$ вектор определяется своими компонентами $\xi, \eta, \zeta$ относительно мгновенного положения правой системы осей $O x y z$, находящихся, в свою очередь, в движении. Требуется определить вектор, являющийся производной по времени от данного вектоpa.

Пусть $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ означают компоненты угловой скорости системы $O x y z$ относительно мгновенного положения осей $O x, O y, O z$.

Производная по времени данного вектора равна векторной сумме производных его компонентов $\xi, \eta, \zeta$. Вектор $\xi$, за интервал времени $d t$, изменяет свою длину, делаясь равным $\xi+\xi d t$, и в то же время изменяет свое положение вследствие вращения осей. Вследствие вращения вокруг $O y$ он поворачивается в первоначальной плоскости $z O x$ на угол $\omega_{2} d t$ в сторону, противоположную оси $O z$; вследствие вращения вокруг оси $O z$ он поворачивается в первоначальной плоскости $x O y$, на угол $\omega_{3} d t$ в сторону $O y$. Следовательно, по истечении промежутка времени $d t$ координаты конца вектора по отношению к первоначальному положению осей будут соответственно равны (при отбрасывании бесконечно малых высших порядков):
\[
\xi+\dot{\xi} d t, \quad \omega_{3} \xi d t \quad \text { и } \quad-\omega_{2} \xi d t .
\]

Отсюда для компонентов производной вектора $\xi$ получаем значения:
\[
\dot{\xi}, \quad \omega_{3} \xi \text { и }-\omega_{2} \xi .
\]

Аналогично для компонентов производных по времени от векторов $\eta$ и $\zeta$ получаем:
\[
\begin{array}{lll}
-\omega_{3} \eta, & \dot{\eta}, & \omega_{1} \eta \\
\omega_{2} \zeta, & -\omega_{1} \zeta, \quad \dot{\zeta}
\end{array}
\]

Складывая, получаем окончательно для компонентов производной по времени данного вектора следующие значения:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\xi}-\eta \omega_{3}+\zeta \omega_{2}, \\
\dot{\eta}-\zeta \omega_{1}+\xi \omega_{3}, \\
\dot{\zeta}-\xi \omega_{2}+\eta \omega_{1} .
\end{array}
\]

Полученные формулы могут быть непосредственно приложены к определению скорости и ускорения точки, заданной в момент времени $t$ своими координатами $x, y, z$ относительно осей, вращающихся с угловой скоростью, имеющей относительно этих же осей компоненты $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$. Ибо, подставляя в эти формулы вместо $\xi, \eta, \zeta$ величины $x, y, z$, мы получим для компонентов скорости значения:
\[
\dot{x}-y \omega_{3}+z \omega_{2}, \quad \dot{y}-z \omega_{1}+x \omega_{3}, \quad \dot{z}-x \omega_{2}+y \omega_{1} .
\]

Применяя эти же формулы к случаю, когда вектор, от которого ищется производная, есть скорость, мы получим для компонентов ускорения следующие выражения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(\dot{x}-y \omega_{3}+z \omega_{2}\right)-\omega_{3}\left(\dot{y}-z \omega_{1}+x \omega_{3}\right)+\omega_{2}\left(\dot{z}-x \omega_{2}+y \omega_{1}\right), \\
\frac{d}{d t}\left(\dot{y}-z \omega_{1}+x \omega_{3}\right)-\omega_{1}\left(\dot{z}-x \omega_{2}+y \omega_{1}\right)+\omega_{3}\left(\dot{x}-y \omega_{3}+z \omega_{2}\right), \\
\frac{d}{d t}\left(\dot{z}-x \omega_{2}+y \omega_{1}\right)-\omega_{2}\left(\dot{x}-y \omega_{3}+z \omega_{2}\right)+\omega_{1}\left(\dot{y}-z \omega_{1}+x \omega_{3}\right) .
\end{array}
\]

Если движение происходит в плоскости, которую мы примем за плоскость $x O y$, то мы будем иметь только две координаты и один компонент $\dot{\vartheta}$ угловой скорости. При этом $\vartheta$ означает угол между подвижными осями и их положением в какой-нибудь определенный момент времени. Итак, полагая в предыдущих формулах $z, \omega_{1}$ и $\omega_{2}$ равными нулю, мы получим в рассматриваемом частном случае для компонентов скорости значения
\[
\dot{x}-y \dot{\vartheta} \quad \text { и } \quad \dot{y}+x \dot{\vartheta} .
\]

Компоненты ускорения равны:
\[
\ddot{x}-2 \dot{y} \dot{\vartheta}-y \ddot{\vartheta}-x \dot{\vartheta}^{2} \quad \text { и } \quad \ddot{y}+2 \dot{x} \dot{\vartheta}+x \ddot{\vartheta}-y \dot{\vartheta}^{2} .
\]

ЗАДАчА 1. Показать, что во всякий момент времени, в который направление мгновенной винтовой оси не стационарно, в твердом теле существует определенная точка, лежащая на конечном расстоянии, для которой мгновенное ускорение равно нулю.