Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Оставшуюся часть этой главы мы посвятим исследованию приложений вышеизложенных идей Гамильтона к динамическим системам с каким угодно числом степеней свободы и установлению связи получаемых результатов с некоторыми теоремами Лагранжа, Пуассона, Пфаффа и Якоби. Мы определим сначала понятие контактных преобразований в пространстве $n$ измерений, обобщая с этой целью уравнение (6) предыдущего параграфа. рассматриваемая как функция величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ и их дифференциалов, является полным дифференциалом некоторой функции от Заметим, что это определение отличается от обычного определения контагтных преобразований, даваемого в приложениях к геометрии и к теории уравнений с частными производными. Последнее определение гласит: контактным преобразованием называется такое преобразование $2 n+1$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, z$ в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, Z$, при котором выполняется уравнение: где $\rho$ – некоторая функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, z$. Из самого определения контактных преобразований совершенно ясно, что два последовательно выполненных контактных преобразования сводятся к одному преобразованию переменных, являющемуся также контактным. Если, далее, преобразование, переводящее $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ в $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$, является контактным, то и обратный ход от переменных $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ к переменным $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ выполняется также при помощи контактного преобразования. Это обстоятельство высказывают обычно следующим образом: преобразование, обратное контактному, есть также контактное. Вместе с вышеизложенным это показывает, что контактные преобразования обладают свойством группы. является контактным. выражение, являющееся полным дифференциалом. ЗАДАчА 2. Показать, что преобразование является контактным. является контактным. Пусть переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ преобразуются в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ контактным преобразованием, так что где $d W$ – полный дифференциал. Для выяснения смысла этих уравнений перейдем временно к геометрической теории контактных преобразований в обычном пространстве трех измерений и рассмотрим три следующих случая: Если $x, y, z$ даны, то это уравнение, левая часть которого рассматривается как функция от $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, представляет некоторую поверхность. Каждая точка $(x, y, z)$ переходит, следовательно, в некоторую поверхность, которую мы назовем $\Omega$-поверхностью. Любая поверхность $\sigma$ переходит в некоторую поверхность $\Sigma$, являющуюся огибающей всех $\Omega$-поверхностей, соответствующих каждой отдельной точке поверхности $\sigma$. $\beta)$ Имеются два уравнения: Если $x, y, z$ даны, то эти уравнения представляют некоторую кривую с координатами $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Каждая точка ( $\left.x, y, z\right)$ переходит, следовательно, в некоторую кривую, которую мы назовем $K$-кривой. Любая поверхность $\sigma$ преобразуется в некоторую поверхность $\Sigma$, являющуюся огибающей всех $K$ кривых, соответствующих каждой отдельной точке поверхности $\sigma$. Каждая точка $(x, y, z)$ преобразуется теперь в точку $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$, любая поверхность $\sigma$ – в поверхность $\Sigma$, являющуюся геометрическим местом точек $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right.$ ), соответствующих каждой отдельной точке поверхности $\sigma$. величины $d q_{1}, d q_{2}, \ldots, d q_{n}, d Q_{1}, d Q_{2}, \ldots, d Q_{n}$ подчинены только условиям: то необходимо должны иметь место уравнения: где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}$ – неопределенные множители, а $W$ – функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$. Уравнения (10) совместно с уравнениями (11) образуют систему $2 n+k$ уравнений, служащих для определения $2 n+k$ величин $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}$ как функций от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Поэтому эти уравнения могут быть рассматриваемы как явное аналитическое выражение контактного преобразования при помощи характеризующих его функций $W, \Omega_{1}, \Omega_{2}, \ldots, \Omega_{k}$. Обратно, если даны $k+1$ произвольных функций $W, \Omega_{1}, \Omega_{2}, \ldots, \Omega_{k}$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, где $k \leqslant n$, и если величины $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}$ суть функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, определяемые уравнениями ${ }^{1}$ : то переход от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n} \kappa Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ есть контактное преобразование. В самом деле, в силу этих уравнений величина равна $d W$, т. е. полному дифференциалу. Показать, что где
|
1 |
Оглавление
|