Главная > АНАЛИТИЧИСКАЯ ДИНАМИКА (Э.УИТТЕКЕР)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Оставшуюся часть этой главы мы посвятим исследованию приложений вышеизложенных идей Гамильтона к динамическим системам с каким угодно числом степеней свободы и установлению связи получаемых результатов с некоторыми теоремами Лагранжа, Пуассона, Пфаффа и Якоби.

Мы определим сначала понятие контактных преобразований в пространстве n измерений, обобщая с этой целью уравнение (6) предыдущего параграфа.
Пусть
q1,q2,,qn,p1,p2,,pn
2n переменных величин, а Q1,Q2,,Qn,P1,P2,,Pn2n других переменных, определяемых как функции первых при помощи 2n уравнений. Переход от переменных q1,q2,,qn,p1,p2,,pn к переменным Q1,Q2,,Qn,P1,P2,,Pn называется контактным преобразованием, если уравнения, связывающие обе системы переменных, обладают тем свойством, что дифференциальная форма
P1dQ1+P2dQ2++PndQnp1dq1p2dq2pndqn,

рассматриваемая как функция величин q1,q2,,qn,p1,p2,,pn и их дифференциалов, является полным дифференциалом некоторой функции от
q1,q2,,qn,p1,p2,,pn.

Заметим, что это определение отличается от обычного определения контагтных преобразований, даваемого в приложениях к геометрии и к теории уравнений с частными производными. Последнее определение гласит: контактным преобразованием называется такое преобразование 2n+1 переменных q1,q2,,qn,p1,p2,,pn,z в переменные Q1,Q2,,Qn,P1,P2,,Pn,Z, при котором выполняется уравнение:
dZP1dQ1P2dQ2PndQn=ρ(dzp1dq1p2dq2pndqn),

где ρ — некоторая функция от q1,q2,,qn,p1,p2,,pn,z.
Если n переменных Q1,Q2,,Qn зависят только от переменных q1,q2,,qn, то уравнения, связывающие обе эти системы переменных, называются в этом случае точечным преобразованием, а контактное преобразование, преобразующее переменные q1,q2,,qn,p1,p2,,pn в переменные Q1,Q2,,Qn,P1, P2,,Pn, называется расииренным точечным преобразованием.

Из самого определения контактных преобразований совершенно ясно, что два последовательно выполненных контактных преобразования сводятся к одному преобразованию переменных, являющемуся также контактным. Если, далее, преобразование, переводящее q1,q2,,qn,p1,p2,,pn в Q1,Q2,,Qn,P1,P2,,Pn, является контактным, то и обратный ход от переменных Q1,Q2,,Qn, P1,P2,,Pn к переменным q1,q2,,qn,p1,p2,,pn выполняется также при помощи контактного преобразования. Это обстоятельство высказывают обычно следующим образом: преобразование, обратное контактному, есть также контактное. Вместе с вышеизложенным это показывает, что контактные преобразования обладают свойством группы.
Задача 1. Показать, что преобразование, определяемое уравнениями:
Q=(2q)12ekcosp,P=(2q)12eksinp,

является контактным.
В этом случае имеем:
PdQpdq=(2q)12sinp{(2q)12cospdq(2q)12sinpdp}pdp==d(qsinpcospqp),

выражение, являющееся полным дифференциалом.

ЗАДАчА 2. Показать, что преобразование
Q=ln(1qsinp),P=qctgp

является контактным.
ЗАДАчА 3. Показать, что преобразование
Q=ln(1+q12cosp),P=2(1+q12cosp)q12sinp

является контактным.
Дадим теперь явное аналитическое выражение контактных преобразований.

Пусть переменные q1,q2,,qn,p1,p2,,pn преобразуются в переменные Q1,Q2,,Qn,P1,P2,,Pn контактным преобразованием, так что
r=1n(prdQrprdqr)=dW,

где dW — полный дифференциал.
Может случиться, что уравнения, выражающие Q1,Q2,,Qn, P1,P2,,Pn через q1,q2,,qn,p1,p2,,pn, дают возможность полного исключения величин P1,P2,,Pn,p1,p2,,pn и получения одного или нескольких уравнений, связывающих только величины Q1,Q2,,Qn,q1,q2,,qn. Пусть число таких уравнений равно k и пусть они имеют вид:
Ωn(q1,q2,,qn,Q1,Q2,,Qn)=0(r=1,2,,k)

Для выяснения смысла этих уравнений перейдем временно к геометрической теории контактных преобразований в обычном пространстве трех измерений и рассмотрим три следующих случая:
α ) Имеется только одно уравнение между старыми и новыми переменными
Ω(x,y,z,x,y,z)=0.

Если x,y,z даны, то это уравнение, левая часть которого рассматривается как функция от x,y,z, представляет некоторую поверхность. Каждая точка (x,y,z) переходит, следовательно, в некоторую поверхность, которую мы назовем Ω-поверхностью. Любая поверхность σ переходит в некоторую поверхность Σ, являющуюся огибающей всех Ω-поверхностей, соответствующих каждой отдельной точке поверхности σ.
Это самый общий случай, который мы рассматривали в § 125.

β) Имеются два уравнения:
Ω1(x,y,z,x,y,z)=0,Ω2(x,y,z,x,y,z)=0.

Если x,y,z даны, то эти уравнения представляют некоторую кривую с координатами x,y,z. Каждая точка ( x,y,z) переходит, следовательно, в некоторую кривую, которую мы назовем K-кривой. Любая поверхность σ преобразуется в некоторую поверхность Σ, являющуюся огибающей всех K кривых, соответствующих каждой отдельной точке поверхности σ.
γ ) Имеются три уравнения:
Ω1(x,y,z,x,y,z)=0,Ω2(x,y,z,x,y,z)=0,Ω3(x,y,z,x,y,z)=0.

Каждая точка (x,y,z) преобразуется теперь в точку (x,y,z), любая поверхность σ — в поверхность Σ, являющуюся геометрическим местом точек (x,y,z ), соответствующих каждой отдельной точке поверхности σ.
Так как в уравнении
r=1n(prdQrprdqr)=dW

величины dq1,dq2,,dqn,dQ1,dQ2,,dQn подчинены только условиям:
Ωrq1dq1+Ωrq2dq2++Ωrqndqn+ΩrQ1dQ1++ΩrQ2dQ2++ΩrQndQn=0(r=1,2,,k)

то необходимо должны иметь место уравнения:
Pr=WQr+λ1Ω1Qr++λkΩkQr,pr=Wqrλ1Ω1qrλkΩkqr}(r=1,2,,k),

где λ1,λ2,,λk — неопределенные множители, а W — функция от q1,q2,,qn,Q1,Q2,,Qn. Уравнения (10) совместно с уравнениями (11) образуют систему 2n+k уравнений, служащих для определения 2n+k величин Q1,Q2,,Qn,P1,P2,,Pn,λ1,λ2,,λk как функций от q1,q2,,qn,p1,p2,,pn. Поэтому эти уравнения могут быть рассматриваемы как явное аналитическое выражение контактного преобразования при помощи характеризующих его функций W,Ω1,Ω2,,Ωk.

Обратно, если даны k+1 произвольных функций W,Ω1,Ω2,,Ωk переменных q1,q2,,qn,Q1,Q2,,Qn, где kn, и если величины Q1,Q2,,Qn,P1,P2,,Pn,λ1,λ2,,λk суть функции от q1,q2,,qn,p1,p2,,pn, определяемые уравнениями 1 :
Ωr(q1,q2,,qn,Q1,Q2,,Qn)=0(r=1,2,,k),Pr=WQr+λ1Ω1Qr++λkΩkQr(r=1,2,,n),pr=Wqrλ1Ω1qrλkΩkqr(r=1,2,,n),

то переход от q1,q2,,qn,p1,p2,,pnκQ1,Q2,,Qn, P1,P2,,Pn есть контактное преобразование. В самом деле, в силу этих уравнений величина
r=1n(prdQrprdqr)

равна dW, т. е. полному дифференциалу.
Задача 4. Пусть
Q=(2q)12k12cosp,P=(2q)12k12sinp.

Показать, что
P=WQ,p=Wq,

где
W=12Q(2qkk2Q2)12qarccos{k12Q(2q)12}
т. е. что переход от q,p к Q,P есть контактное преобразование.

1
Оглавление
email@scask.ru