Оставшуюся часть этой главы мы посвятим исследованию приложений вышеизложенных идей Гамильтона к динамическим системам с каким угодно числом степеней свободы и установлению связи получаемых результатов с некоторыми теоремами Лагранжа, Пуассона, Пфаффа и Якоби.
Мы определим сначала понятие контактных преобразований в пространстве измерений, обобщая с этой целью уравнение (6) предыдущего параграфа.
Пусть
переменных величин, а других переменных, определяемых как функции первых при помощи уравнений. Переход от переменных к переменным называется контактным преобразованием, если уравнения, связывающие обе системы переменных, обладают тем свойством, что дифференциальная форма
рассматриваемая как функция величин и их дифференциалов, является полным дифференциалом некоторой функции от
Заметим, что это определение отличается от обычного определения контагтных преобразований, даваемого в приложениях к геометрии и к теории уравнений с частными производными. Последнее определение гласит: контактным преобразованием называется такое преобразование переменных в переменные , при котором выполняется уравнение:
где — некоторая функция от .
Если переменных зависят только от переменных , то уравнения, связывающие обе эти системы переменных, называются в этом случае точечным преобразованием, а контактное преобразование, преобразующее переменные в переменные , , называется расииренным точечным преобразованием.
Из самого определения контактных преобразований совершенно ясно, что два последовательно выполненных контактных преобразования сводятся к одному преобразованию переменных, являющемуся также контактным. Если, далее, преобразование, переводящее в , является контактным, то и обратный ход от переменных , к переменным выполняется также при помощи контактного преобразования. Это обстоятельство высказывают обычно следующим образом: преобразование, обратное контактному, есть также контактное. Вместе с вышеизложенным это показывает, что контактные преобразования обладают свойством группы.
Задача 1. Показать, что преобразование, определяемое уравнениями:
является контактным.
В этом случае имеем:
выражение, являющееся полным дифференциалом.
ЗАДАчА 2. Показать, что преобразование
является контактным.
ЗАДАчА 3. Показать, что преобразование
является контактным.
Дадим теперь явное аналитическое выражение контактных преобразований.
Пусть переменные преобразуются в переменные контактным преобразованием, так что
где — полный дифференциал.
Может случиться, что уравнения, выражающие , через , дают возможность полного исключения величин и получения одного или нескольких уравнений, связывающих только величины . Пусть число таких уравнений равно и пусть они имеют вид:
Для выяснения смысла этих уравнений перейдем временно к геометрической теории контактных преобразований в обычном пространстве трех измерений и рассмотрим три следующих случая:
) Имеется только одно уравнение между старыми и новыми переменными
Если даны, то это уравнение, левая часть которого рассматривается как функция от , представляет некоторую поверхность. Каждая точка переходит, следовательно, в некоторую поверхность, которую мы назовем -поверхностью. Любая поверхность переходит в некоторую поверхность , являющуюся огибающей всех -поверхностей, соответствующих каждой отдельной точке поверхности .
Это самый общий случай, который мы рассматривали в § 125.
Имеются два уравнения:
Если даны, то эти уравнения представляют некоторую кривую с координатами . Каждая точка ( переходит, следовательно, в некоторую кривую, которую мы назовем -кривой. Любая поверхность преобразуется в некоторую поверхность , являющуюся огибающей всех кривых, соответствующих каждой отдельной точке поверхности .
) Имеются три уравнения:
Каждая точка преобразуется теперь в точку , любая поверхность — в поверхность , являющуюся геометрическим местом точек ), соответствующих каждой отдельной точке поверхности .
Так как в уравнении
величины подчинены только условиям:
то необходимо должны иметь место уравнения:
где — неопределенные множители, а — функция от . Уравнения (10) совместно с уравнениями (11) образуют систему уравнений, служащих для определения величин как функций от . Поэтому эти уравнения могут быть рассматриваемы как явное аналитическое выражение контактного преобразования при помощи характеризующих его функций .
Обратно, если даны произвольных функций переменных , где , и если величины суть функции от , определяемые уравнениями :
то переход от , есть контактное преобразование. В самом деле, в силу этих уравнений величина
равна , т. е. полному дифференциалу.
Задача 4. Пусть
Показать, что
где
т. е. что переход от к есть контактное преобразование.