Оставшуюся часть этой главы мы посвятим исследованию приложений вышеизложенных идей Гамильтона к динамическим системам с каким угодно числом степеней свободы и установлению связи получаемых результатов с некоторыми теоремами Лагранжа, Пуассона, Пфаффа и Якоби.

Мы определим сначала понятие контактных преобразований в пространстве $n$ измерений, обобщая с этой целью уравнение (6) предыдущего параграфа.
Пусть
\[
q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}
\]
$2 n$ переменных величин, а $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n} 2 n$ других переменных, определяемых как функции первых при помощи $2 n$ уравнений. Переход от переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ к переменным $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ называется контактным преобразованием, если уравнения, связывающие обе системы переменных, обладают тем свойством, что дифференциальная форма
\[
P_{1} d Q_{1}+P_{2} d Q_{2}+\cdots+P_{n} d Q_{n}-p_{1} d q_{1}-p_{2} d q_{2}-\cdots-p_{n} d q_{n},
\]

рассматриваемая как функция величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ и их дифференциалов, является полным дифференциалом некоторой функции от
\[
q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n} .
\]

Заметим, что это определение отличается от обычного определения контагтных преобразований, даваемого в приложениях к геометрии и к теории уравнений с частными производными. Последнее определение гласит: контактным преобразованием называется такое преобразование $2 n+1$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, z$ в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, Z$, при котором выполняется уравнение:
\[
d Z-P_{1} d Q_{1}-P_{2} d Q_{2}-\cdots-P_{n} d Q_{n}=\rho\left(d z-p_{1} d q_{1}-p_{2} d q_{2}-\cdots-p_{n} d q_{n}\right),
\]

где $\rho$ — некоторая функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, z$.
Если $n$ переменных $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ зависят только от переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, то уравнения, связывающие обе эти системы переменных, называются в этом случае точечным преобразованием, а контактное преобразование, преобразующее переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}$, $P_{2}, \ldots, P_{n}$, называется расииренным точечным преобразованием.

Из самого определения контактных преобразований совершенно ясно, что два последовательно выполненных контактных преобразования сводятся к одному преобразованию переменных, являющемуся также контактным. Если, далее, преобразование, переводящее $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ в $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$, является контактным, то и обратный ход от переменных $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ к переменным $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ выполняется также при помощи контактного преобразования. Это обстоятельство высказывают обычно следующим образом: преобразование, обратное контактному, есть также контактное. Вместе с вышеизложенным это показывает, что контактные преобразования обладают свойством группы.
Задача 1. Показать, что преобразование, определяемое уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
Q=(2 q)^{\frac{1}{2}} e^{k} \cos p, \\
P=(2 q)^{\frac{1}{2}} e^{-k} \sin p,
\end{array}
\]

является контактным.
В этом случае имеем:
\[
\begin{aligned}
P d Q-p d q & =(2 q)^{\frac{1}{2}} \sin p\left\{(2 q)^{-\frac{1}{2}} \cos p d q-(2 q)^{\frac{1}{2}} \sin p d p\right\}-p d p= \\
& =d(q \sin p \cos p-q p),
\end{aligned}
\]

выражение, являющееся полным дифференциалом.

ЗАДАчА 2. Показать, что преобразование
\[
\begin{array}{l}
Q=\ln \left(\frac{1}{q} \sin p\right), \\
P=q \operatorname{ctg} p
\end{array}
\]

является контактным.
ЗАДАчА 3. Показать, что преобразование
\[
\begin{array}{l}
Q=\ln \left(1+q^{\frac{1}{2}} \cos p\right), \\
P=2\left(1+q^{\frac{1}{2}} \cos p\right) q^{\frac{1}{2}} \sin p
\end{array}
\]

является контактным.
Дадим теперь явное аналитическое выражение контактных преобразований.

Пусть переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ преобразуются в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ контактным преобразованием, так что
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(p_{r} d Q_{r}-p_{r} d q_{r}\right)=d W,
\]

где $d W$ — полный дифференциал.
Может случиться, что уравнения, выражающие $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ через $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, дают возможность полного исключения величин $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ и получения одного или нескольких уравнений, связывающих только величины $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Пусть число таких уравнений равно $k$ и пусть они имеют вид:
\[
\Omega_{n}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}\right)=0 \quad(r=1,2, \ldots, k)
\]

Для выяснения смысла этих уравнений перейдем временно к геометрической теории контактных преобразований в обычном пространстве трех измерений и рассмотрим три следующих случая:
$\alpha$ ) Имеется только одно уравнение между старыми и новыми переменными
\[
\Omega\left(x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)=0 .
\]

Если $x, y, z$ даны, то это уравнение, левая часть которого рассматривается как функция от $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, представляет некоторую поверхность. Каждая точка $(x, y, z)$ переходит, следовательно, в некоторую поверхность, которую мы назовем $\Omega$-поверхностью. Любая поверхность $\sigma$ переходит в некоторую поверхность $\Sigma$, являющуюся огибающей всех $\Omega$-поверхностей, соответствующих каждой отдельной точке поверхности $\sigma$.
Это самый общий случай, который мы рассматривали в § 125.

$\beta)$ Имеются два уравнения:
\[
\Omega_{1}\left(x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)=0, \quad \Omega_{2}\left(x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)=0 .
\]

Если $x, y, z$ даны, то эти уравнения представляют некоторую кривую с координатами $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Каждая точка ( $\left.x, y, z\right)$ переходит, следовательно, в некоторую кривую, которую мы назовем $K$-кривой. Любая поверхность $\sigma$ преобразуется в некоторую поверхность $\Sigma$, являющуюся огибающей всех $K$ кривых, соответствующих каждой отдельной точке поверхности $\sigma$.
$\gamma$ ) Имеются три уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\Omega_{1}\left(x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)=0, \\
\Omega_{2}\left(x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)=0, \\
\Omega_{3}\left(x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)=0 .
\end{array}
\]

Каждая точка $(x, y, z)$ преобразуется теперь в точку $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$, любая поверхность $\sigma$ — в поверхность $\Sigma$, являющуюся геометрическим местом точек $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right.$ ), соответствующих каждой отдельной точке поверхности $\sigma$.
Так как в уравнении
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(p_{r} d Q_{r}-p_{r} d q_{r}\right)=d W
\]

величины $d q_{1}, d q_{2}, \ldots, d q_{n}, d Q_{1}, d Q_{2}, \ldots, d Q_{n}$ подчинены только условиям:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \Omega_{r}}{\partial q_{1}} d q_{1} & +\frac{\partial \Omega_{r}}{\partial q_{2}} d q_{2}+\cdots+\frac{\partial \Omega_{r}}{\partial q_{n}} d q_{n}+\frac{\partial \Omega_{r}}{\partial Q_{1}} d Q_{1}+ \\
& +\frac{\partial \Omega_{r}}{\partial Q_{2}} d Q_{2}+\cdots+\frac{\partial \Omega_{r}}{\partial Q_{n}} d Q_{n}=0 \quad(r=1,2, \ldots, k)
\end{aligned}
\]

то необходимо должны иметь место уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
P_{r}=\frac{\partial W}{\partial Q_{r}}+\lambda_{1} \frac{\partial \Omega_{1}}{\partial Q_{r}}+\cdots+\lambda_{k} \frac{\partial \Omega_{k}}{\partial Q_{r}}, \\
p_{r}=-\frac{\partial W}{\partial q_{r}}-\lambda_{1} \frac{\partial \Omega_{1}}{\partial q_{r}}-\cdots-\lambda_{k} \frac{\partial \Omega_{k}}{\partial q_{r}}
\end{array}\right\} \quad(r=1,2, \ldots, k),
\]

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}$ — неопределенные множители, а $W$ — функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$. Уравнения (10) совместно с уравнениями (11) образуют систему $2 n+k$ уравнений, служащих для определения $2 n+k$ величин $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}$ как функций от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Поэтому эти уравнения могут быть рассматриваемы как явное аналитическое выражение контактного преобразования при помощи характеризующих его функций $W, \Omega_{1}, \Omega_{2}, \ldots, \Omega_{k}$.

Обратно, если даны $k+1$ произвольных функций $W, \Omega_{1}, \Omega_{2}, \ldots, \Omega_{k}$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, где $k \leqslant n$, и если величины $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}$ суть функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, определяемые уравнениями ${ }^{1}$ :
\[
\begin{array}{r}
\Omega_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}\right)=0(r=1,2, \ldots, k), \\
P_{r}=\frac{\partial W}{\partial Q_{r}}+\lambda_{1} \frac{\partial \Omega_{1}}{\partial Q_{r}}+\cdots+\lambda_{k} \frac{\partial \Omega_{k}}{\partial Q_{r}}(r=1,2, \ldots, n), \\
p_{r}=-\frac{\partial W}{\partial q_{r}}-\lambda_{1} \frac{\partial \Omega_{1}}{\partial q_{r}}-\cdots-\lambda_{k} \frac{\partial \Omega_{k}}{\partial q_{r}}(r=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

то переход от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n} \kappa Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ есть контактное преобразование. В самом деле, в силу этих уравнений величина
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(p_{r} d Q_{r}-p_{r} d q_{r}\right)
\]

равна $d W$, т. е. полному дифференциалу.
Задача 4. Пусть
\[
Q=(2 q)^{\frac{1}{2}} k^{-\frac{1}{2}} \cos p, \quad P=(2 q)^{\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}} \sin p .
\]

Показать, что
\[
P=\frac{\partial W}{\partial Q}, \quad p=-\frac{\partial W}{\partial q},
\]

где
\[
W=\frac{1}{2} Q\left(2 q k-k^{2} Q^{2}\right)^{\frac{1}{2}}-q \arccos \left\{k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{(2 q)^{\frac{1}{2}}}\right\}
\]
т. е. что переход от $q, p$ к $Q, P$ есть контактное преобразование.