Покажем сейчас, как можно получить траектории планет в общей теории относительности ( $\$ 170$ ), спиралеобразно приближающиеся к асимптотическим круговым траекториям, из рассмотрения характеристических показателей этих круговых траекторий.
Напишем уравнения движения ( $\S 170$ ):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d s}\left(\frac{r^{\prime}}{1-\frac{\alpha}{r}}\right)+\frac{1}{2} \frac{\alpha c^{2}}{r^{2}} t^{\prime 2}+\frac{\alpha{r^{2}}^{2}}{2 r^{2}\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{2}}-r{\vartheta^{\prime}}^{2}=0 \\
\left(1-\frac{\alpha}{r}\right) t^{\prime}=-\frac{k}{c^{2} \sqrt{\beta}} \\
r^{2} \vartheta^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{\beta}}
\end{array}
\]

и исключим из них $s$ и $\vartheta$, будем иметь:
\[
\frac{1}{1-\frac{\alpha}{r}} \frac{d^{2} r}{d t^{2}}-\frac{3 \alpha}{2 r^{2}\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{2}}\left(\frac{d r}{d t}\right)^{2}+\frac{1}{2} \frac{\alpha c^{2}}{r^{2}}-r\left(\frac{d \vartheta}{d t}\right)^{2}=0 .
\]

Из (9) и (10) находим:
\[
\frac{r^{2}}{1-\frac{\alpha}{r}} \frac{d \vartheta}{d t}=-\frac{c^{2}}{k},
\]

что после дифференцирования дает:
\[
r^{2} \frac{d^{2} \vartheta}{d t^{2}}+2 r \frac{d r}{d t} \frac{d \vartheta}{d t}-\frac{\alpha}{1-\frac{\alpha}{r}} \frac{d r}{d t} \frac{d \vartheta}{d t}=0 .
\]

Уравнения (11) и (12) являются уравнениями движения, если $r$ и $\vartheta$ рассматривать как зависимые, а $t$ – как независимую переменную. Если $r=r_{0}(t), \vartheta=\vartheta_{0}(t)$ суть уравнения траектории, то, желая определить малые колебания около нее, мы должны будем положить:
\[
r=r_{0}(t)+\xi, \quad \vartheta=\vartheta_{0}(t)+\eta
\]

и пренебречь квадратами и произведением величин $\xi$ и $\eta$. Характеристические показатели найдутся после разрешения дифференциальных уравнений в $\xi$ и $\eta$.

В частности, если траектория является окружностью радиуса $r_{0}$, то
\[
\frac{d r}{d t}=0, \quad \frac{d^{2} r}{d t^{2}}=0 \quad \text { при } \quad r=r_{0},
\]

и поэтому в силу (11)
\[
r_{0}^{3} \dot{\vartheta}_{0}^{2}=\frac{1}{2} \alpha c^{2} .
\]

Уравнение для $\xi$ после несложных преобразований принимает вид:
\[
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+\frac{\alpha c^{2}}{2 r_{0}^{3}}\left(1-\frac{3 \alpha}{r_{0}}\right) \xi=0 .
\]

Отсюда, очевидно, следует, что круговая траектория только тогда может быть устойчивой, когда ее радиус превышает $3 \alpha$. Этот результат был уже нами получен в § 170. Если радиус траектории меньше, чсм $3 \alpha$, то рсшенис уравпсния (13) имсет вид:
\[
\xi=A e^{t\left\{\frac{\alpha c^{2}}{2 r_{0}^{8}}\left(\frac{3 \alpha}{r_{0}}-1\right)\right\}^{\frac{1}{2}}}+B e^{-t\left\{\frac{\alpha c^{3}}{2 r_{0}^{3}}\left(\frac{3 \alpha}{r_{0}}-1\right)\right\}^{\frac{1}{2}}} .
\]

Характеристические показатели суть $\pm\left\{\frac{\alpha c^{2}}{2 r_{0}^{3}}\left(\frac{3 \alpha}{r_{0}}-1\right)\right\}^{\frac{1}{2}}$. Оба члена, стоящие в правой части уравнения (14), соответствуют двум типам асимптотических решений. Решения первого типа приближаются к круговой траектории по правой спирали, а решения второго типа – по левой. Из § 170 вытекает, что планета, отдаляясь от круговой траектории по правой спирали, отдалится на некоторое расстояние от притягивающего центра и, пройдя через афелий, начнет снова приближаться к круговой траектории по левой спирали. Разумеется, этот результат не может быть получен простым рассмотрением характеристических показателей.