Если связи системы зависят от времени (например, если точка движется по гладкой кривой или поверхности, вращающихся вокруг некоторой оси), то кинетическая энергия может содержать не только члены нулевого и второго порядка относительно скоростей, но и члены линейные. Следовательно, в уравнения колебаний таких систем могут войти гироскопические члены, даже тогда, когда рассматриваются колебания около относительного положения равновесия. Интегрирование уравнений может быть выполнено теми же способами, что и при колебаниях систем около стационарного состояния движения. Поясним это на следующем примере.
${ }^{1}$ Об устойчивости вертикального волчка см. Klein, Bull. Amer. Math.: Soc., т. 3, стр. $129,292,1897$.

Задачд 1. Определить периоды нормальных колебаний тяжелой материальной точки около ее положения равновесия, совпадающего с наиболее низкой точкой некоторой поверхности, вращающейся с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через эту точку.

Пусть $x, y, z$ означают координаты точки, отнесенной к системе координат, связанной с движущейся поверхностью, причем ось $z$ направлена вертикально вверх, а оси $x$ и $y$ направлены по касательным к линиям кривизны в наиболее низкой точке поверхности. Уравнением поверхности будет:
\[
z=\frac{x^{2}}{2 \rho_{1}}+\frac{y^{2}}{2 \rho_{2}}+\text { члены высших порядков. }
\]

Для кинетической и потенциальной энергий системы имеем:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} m\left\{(\dot{x}-y \omega)^{2}+(\dot{y}+x \omega)^{2}+\dot{z}^{2}\right\}, \\
V=M g z .
\end{array}
\]

В задаче колебаний кинетический потенциал есть, следовательно,
\[
L=\frac{1}{2} m\left\{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+2 \omega(x \dot{y}-y \dot{x})+\omega^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}-m g\left(\frac{x^{2}}{2 \rho_{1}}+\frac{y^{2}}{2 \rho_{2}}\right) .
\]

Уравнения движения
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0, \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial L}{\partial y}=0
\]

дают:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}-2 \omega \dot{y}+x\left(\frac{g}{\rho_{1}}-\omega^{2}\right)=0, \\
\ddot{y}-2 \omega \dot{x}+y\left(\frac{g}{\rho_{2}}-\omega^{2}\right)=0 .
\end{array}
\]

Если $\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda}}$ есть период нормального колебания, то, полагая в полученных уравнениях $x=A e^{i \sqrt{\lambda} t}, y=B e^{i \sqrt{\lambda} t}$ и исключая $A$ и $B$, получим:
\[
\left|\begin{array}{cc}
-\lambda-\omega^{2}+\frac{g}{\rho_{1}} & -\omega i \sqrt{\lambda} \\
2 \omega i \sqrt{\lambda} & -\lambda-\omega^{2}+\frac{g}{\rho^{2}}
\end{array}\right|=0
\]

или
\[
\left(\lambda+\omega^{2}-\frac{g}{\rho_{1}}\right)\left(\lambda+\omega^{2}-\frac{g}{\rho_{2}}\right)-4 \lambda \omega^{2}=0 .
\]

Корни этого квадратного относительно $\lambda$ уравнения и определяют периоды малых колебаний.