Метод, изложенный в предыдущем параграфе, зависит существенно от приведения неголономных систем к голономным путем введения дополнительных сил, обусловленных кинематическими связями. Практически это часто наиболее удобно выполняется тем, что составляют уравнения движения для каждого тела системы в отдельности. Кроме того, часто бывает выгодно пользоваться системой координат, движущейся как относительно пространства, так и относительно тела. Поэтому мы хотим сейчас составить уравнения движения твердого тела относительно системы осей, имеющих начало в центре тяжести тела и движущихся произвольным образом в пространстве ${}^1$.

Пусть $G$ — центр тяжести тела, а $Gxyz$ — подвижная система осей. Обозначим через $u,v,w$ компоненты скорости центра тяжести относительно подвижных осей и через ${\vartheta }_1,{\vartheta }_2,{\vartheta }_3$ — компоненты угловой скорости системы Gxyz относительно этих же осей. Компоненты угловой скорости тела относительно подвижных осей мы обозначим через ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$. Согласно $\mathrm{\S }64$ центр тяжести $G$ движется как свободная материальная точка, в которой сконцентрирована вся масса $M$ тела и к которой приложены все действующие на тело внешние силы. (При этом следует учитывать все силы реакций за исключением внутренних реакций между отдельными точками тела.) Допустим, что эти внешние силы имеют относительно подвижных осей $Gxyz$ компоненты $X,Y,Z$.

Центр тяжести $G$ имеет по оси $Gx$ компонент скорости $u$ и компонент ускорения, равный $\dot{u}-v{\vartheta }_3+w{\vartheta }_2$ (§17). Поэтому имеет место уравнение:
$$M(\dot{u}-v{\vartheta }_3+w{\vartheta }_2)=X,$$

которое может быть переписано в виде:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial u}\right)-{\vartheta }_3\frac{\partial T}{\partial v}+{\vartheta }_2\frac{\partial T}{\partial w}=X,$$

где $T$ — кинетическая энергия тела, выраженная через $u,v,w,{\omega }_1,{\omega }_2$, ${\omega }_3$. Аналогичные уравнения имеют место и для движения центра тяжести в направлении осей $Gy$ и $Gz$.

Рассмотрим относительное движение тела вокруг центра тяжести $G$, которое согласно $\mathrm{\S }64$ не зависит от движения $G$. Согласно $\mathrm{\S }62,63$ момент количества движения тела относительно $Gx$ равен $\frac{\partial T}{\partial {\omega }_1}$. Поэтому приращение момента количества движения тела относительно неподвижной в пространстве оси, мгновенно совпадающей с $Gx$, равно:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\omega }_1}\right)-{\vartheta }_3\frac{\partial T}{\partial {\omega }_2}+{\vartheta }_2\frac{\partial T}{\partial {\omega }_3}.$$
${}^1$ При пользовании этим методом оси координат выбирают обычно таким образом, чтобы моменты инерции и девиации относительно них оставались постоянными. Однако это условие несущественно.

Если $L,M,N$ суть моменты внешних сил относительно осей $Gxyz$, то ( $\mathrm{\S }40$ ) имеет место уравнение:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\omega }_1}\right)-{\vartheta }_3\frac{\partial T}{\partial {\omega }_2}+{\vartheta }_2\frac{\partial T}{\partial {\omega }_3}=L$$

и два аналогичных уравнения.
Следовательно, движение тела определяется шестью уравнениями:
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial u}\right)-{\vartheta }_3\frac{\partial T}{\partial v}+{\vartheta }_2\frac{\partial T}{\partial w}=X,\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\omega }_1}\right)-{\vartheta }_3\frac{\partial T}{\partial {\omega }_2}+{\vartheta }_2\frac{\partial T}{\partial {\omega }_3}=L,\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)-{\vartheta }_1\frac{\partial T}{\partial w}+{\vartheta }_3\frac{\partial T}{\partial u}=Y,\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\omega }_2}\right)-{\vartheta }_1\frac{\partial T}{\partial {\omega }_3}+{\vartheta }_3\frac{\partial T}{\partial {\omega }_1}=M\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial w}\right)-{\vartheta }_2\frac{\partial T}{\partial u}+{\vartheta }_1\frac{\partial T}{\partial v}=Z,\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\omega }_3}\right)-{\vartheta }_2\frac{\partial T}{\partial {\omega }_1}+{\vartheta }_1\frac{\partial T}{\partial {\omega }_2}=N\end{array}$$

Нетрудно видеть, что эти уравнения представляют собой не что иное, как уравнения Лагранжа в квазикоординатах и поэтому они могут быть получены при помощи теоремы $\S 30$.
ЗАДАчА 1. Начало координат подвижной системы не закреплено неподвижно в теле, а имеет относительно подвижных осей компоненты скорости $u_1,u_2,u_3$. Величины ${\vartheta }_1,{\vartheta }_2,{\vartheta }_3$ суть компоненты угловой скорости подвижных осей относительно этих же осей, $v_1,v_2,v_3$ суть компоненты скорости относительно подвижных осей той точки тела, которая в данное мгновение совпадает с началом координат, и ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$ суть компоненты угловой скорости тела относительно подвижных же осей. Показать, что уравнения движения могут быть написаны в виде:
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial v_1}\right)-{\vartheta }_3\frac{\partial T}{\partial v_2}+{\vartheta }_2\frac{\partial T}{\partial v_3}=X,\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial v_2}\right)-{\vartheta }_1\frac{\partial T}{\partial v_3}+{\vartheta }_3\frac{\partial T}{\partial v_1}=Y,\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial v_3}\right)-{\vartheta }_2\frac{\partial T}{\partial v_1}+{\vartheta }_1\frac{\partial T}{\partial v_2}=Z,\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\omega }_1}\right)-u_3\frac{\partial T}{\partial v_2}+u_2\frac{\partial T}{\partial v_3}-{\vartheta }_3\frac{\partial T}{\partial {\omega }_2}+{\vartheta }_2\frac{\partial T}{\partial {\omega }_3}=L,\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\omega }_2}\right)-u_1\frac{\partial T}{\partial v_3}+u_3\frac{\partial T}{\partial v_1}-{\vartheta }_1\frac{\partial T}{\partial {\omega }_3}+{\vartheta }_3\frac{\partial T}{\partial {\omega }_1}=M,\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\omega }_3}\right)-u_2\frac{\partial T}{\partial v_1}+u_1\frac{\partial T}{\partial v_2}-{\vartheta }_2\frac{\partial T}{\partial {\omega }_1}+{\vartheta }_1\frac{\partial T}{\partial {\omega }_2}=N,\end{array}$$

где $X,Y,Z,L,M,N$ означают компоненты и моменты внешних сил относительно подвижных осей.