1. Однородный прямой круговой конус имеет массу $M$, угол при вершине $\beta$ и образующую $l$. Показать, что момент инерции относительно оси конуса равен:
\[
\frac{3}{10} M l^{2} \sin ^{2} \beta,
\]
относительно прямой, проходящей через вершину перпендикулярно оси:
\[
\frac{3}{5} M l^{2}\left(1-\frac{3}{4} \sin ^{2} \beta\right)
\]
и относительно образующей:
\[
\frac{3}{4} M l^{2} \sin ^{2} \beta\left(\cos ^{2} \beta+\frac{1}{5}\right) .
\]
2. Показать, что момент инерции части плоскости, ограниченной обеими петлями лемнискаты
\[
r^{2}=a^{2} \cos 2 \vartheta
\]
относительно оси кривой, равен:
\[
\frac{(3 \pi-8) a^{2}}{48} \times \text { масса заданной части плоскости. }
\]
3. В плоскости находятся несколько точек. Их массы $m_{1}, m_{2}, \ldots$, взаимные расстояния $d_{12}, \ldots$, и относительные скорости $v_{12}, \ldots$ Доказать, что
\[
\frac{\left(\sum m_{1} m_{2} d_{12}^{2}\right)}{\sum m}, \quad \frac{\left(\sum m_{1} m_{2} h_{12}^{2}\right)}{\sum m}, \frac{\left(\sum m_{1} m_{2} v_{12}^{2}\right)}{2 \sum m}
\]
выражают соответственно момент инерции относительно центра тяжести, момент количества движения относительно центра тяжести и кинетическую энергию относительно центра тяжести.
4. Доказать, что момент инерции полого куба относительно оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно к одной из граней, равен
\[
\frac{10}{9} M a^{2},
\]
где $M$ – масса куба, а $2 a$ – длина ребра. При этом стенки куба предполагаются очень тонкими.
5. Показать, что поверхность тора относительно своей оси имеет момент инерции
\[
2 \pi \rho^{2} a^{2} c\left(c^{2}+\frac{3}{4} a^{2}\right),
\]
где $a$ – радиус образующего круга, $c$ – расстояние его центра от оси тора и $\rho$ – плотность.
6. Показать, относительно какой из своих точек и при каких условиях заданная прямая есть главная ось инерции тела; если эти условия выполнены, то определить обе другие, проходящие через эту точку, главные оси инерции.
Однородная квадратная пластинка ограничена осью $x$, осью $y$ и прямыми $x=2 c, y=2 c$. Прямая $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2$ отсекает от нее некоторый угол. Показать, что обе главные оси инерции полученной площади относительно центра квадрата, лежащие в плоскости, наклонены к оси $x$ под углом $\vartheta$, который определяется уравнением:
\[
\operatorname{tg} 2 \vartheta=\frac{a b-2 c(a+b)+3 c^{2}}{(a-b)(a+b-2 c)} .
\]
7. Показать, что огибающая тех прямых плоскости некоторой пластинки, относительно которых эта пластинка имеет постоянный момент инерции, есть семейство софокусных эллипсов и гипербол. Определить отсюда направление главных осей инерции в произвольной точке.
8. Определить главные моменты инерции для вершины пластинки, ограниченной параболой с параметром $4 a$ и прямой, перпендикулярной оси параболы и отстоящей на расстоянии $h$ от вершины. Доказать, что если $15 h>28 a$, то две главные оси инерции в точке параболы с абсциссой $-a+\left(a^{2}-\frac{4 a h}{5}+\frac{3 h^{2}}{7}\right)^{\frac{1}{2}}$ совпадают с касательной и нормалью.
9. Исследовать расположение главных осей инерции для плоского тела. Дать условия того, что материальные точки $m_{i}$ с координатами $x_{i}, y_{i}$ $(i=1,2, \ldots)$ эквимоментны заданной пластинке. Показать, что из этих условий можно исключить шесть величин: $m_{1}, m_{2}, x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$. Если система трех точек эквимоментна пластинке, то площадь треугольника, который они образуют, равна $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, умноженному на произведение главных радиусов инерции в центре тяжести.
10. Однородная часть плоскости, ограниченная эллипсом $b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=$ $=a^{2} b^{2}$, имеет эллиптическое отверстие (с полуосями $c, d$ ), большая ось которого совпадает с прямой $x=y$, а центр отстоит от начала координат на величину $r$. Показать, что
\[
\operatorname{tg} 2 \vartheta=\frac{8 a b x y-c d\left[4(x \sqrt{2}-r)(y \sqrt{2}-r)-\left(c^{2}-d^{2}\right)\right]}{a b\left[4\left(x^{2}-y^{2}\right)+a^{2}-b^{2}\right]-c d\left[2(x \sqrt{2}-r)^{2}-2(y \sqrt{2}-r)^{2}\right]},
\]
если $\vartheta$ – угол одной из главных осей инерции в точке $(x, y)$ с осью $x$.
11. Система тел или материальных точек произвольным образом движется или деформируется. Показать, что сумма произведений масс отдельных точек на квадраты соответствующих перемещений равна произведению всей массы системы на квадрат проекции (на любое направление) перемещения центра тяжести, сложенному с суммой произведений масс точек на квадраты расстояний, на которые нужно переместиться точкам для достижения конечных положений, после того как им сообщили одинаковые перемещения, равные по величине и направлению проекции перемещения центра тяжести. (Fouret.)
12. Главные моменты инерции тела относительно его центра тяжести суть $A, B, C$. К телу добавлена малая масса, имеющая относительно тех же осей главные моменты инерции $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$. Доказать, что суммарное тело, относительно новых главных осей инерции для нового центра тяжести, имеет главные моменты инерции
\[
A+A^{\prime}, \quad B+B^{\prime}, \quad C+C^{\prime},
\]
если пренебречь бесконечно малыми порядка выше первого. (Норре.)
13. Доказать, что в произвольной точке заданной материальной системы главные оси инерции совпадают с нормалями трех поверхностей второго порядка, проходящих через эту точку и принадлежащих некоторой определенной софокусной системе.
Пусть $l, m, n, \lambda, \mu,
u$ представляют собой шесть координат какойнибудь главной оси, и декартова система координат совпадает с главными осями инерции в центре тяжести. Показать, что
\[
A l \lambda+B m \mu+C n
u=0
\]
и что, следовательно, главные оси инерции некоторой заданной системы образуют квадратичный комплекс.
14. Параллелограмм образован двумя парами стержней длины $2 a$ и $2 b$ и с массами $m$ и $m^{\prime}$, связанными в концах идеальными шарнирами. В вершины параллелограмма помещены четыре массы, из которых каждая равна $M$. Выразить момент количества движения системы относительно начала координат как функции координат $x$ и $y$ центра тяжести и углов $\vartheta$ и $\varphi$, образованных сторонами параллелограмма с осью $x$.
