Покажем сейчас, что существование и положение периодических траекторий может быть установлено при помощи теоремы ${ }^{1}$, аналогичной теореме алгебры, устанавливающей положение корней алгебраического уравнения по знакам некоторых выражений, получаемых из этих уравнений.

Для упрощения задачи мы будем рассматривать движение только одной материальной точки, движущейся на плоскости под действием консервативного поля сил. Теорема, которую мы получим, может быть, однако, легко распространена и на динамические системы более общего вида.

Пусть $x$ и $y$ означают прямоугольные координаты рассматриваемой точки, отнесенные к произвольной неподвижной системе координат, а $V(x, y)$ пусть будет ее потенциальной энергией. Принимая массу точки равной единице, напишем уравнение энергии:
\[
\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+V(x, y)=h,
\]

где $h$ – постоянная. Дифференциальные уравнения движения точки образуют систему четвертого порядка, и их общее решение содержит, следовательно, четыре произвольных постоянных. Одна из этих постоянных определяет начальный момент времени, и поэтому различных траекторий будет только $\infty^{3}$. Рассматривая совместно совокупность всех траекторий, отвечающих одинаковым значениям постоянной энергии, мы разобьем все эти траектории на $\infty^{1}$ семейств, содержащих каждое $\infty^{2}$ кривых. Такого рода семейство из $\infty^{2}$ траекторий может быть определено аналитически при помощи принципа наименьшего действия ( $§ 100$ ). На основании последнего всякая траектория, проходящая через две заданные точки $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ и $\left(x_{1}, y_{1}\right)$, обладает тем свойством, что для нее интеграл
\[
\int\{h-V(x, y)\}^{\frac{1}{2}}\left\{(d x)^{2}+(d y)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}
\]

принимает стационарное значение по сравнению с другими кривыми, проходящими через эти точки ${ }^{2}$. Рассмотрим простой замкнутый контур $C$, лежащий в плоскости $x y$, и обозначим через $C^{\prime}$ другой простой замкнутый контур, очень мало отличающийся от контура $C$ и заключающий его внутри себя. Пусть $C^{\prime}$ определяется уравнением:
\[
\delta p=\varphi(\gamma),
\]
${ }^{1}$ Whittaker, Monthly Notices R. A. S., т. 42 , стр. 186, 1902; A. Signorini, Rend. d. Lincei, т. 21, стр. 36, 1912; Rend. di Palermo, т. 33, стр. 187, 1912; L. Tonelli, Rend. d. Lincei, т. 21, стр. 251, 352, 1912.
${ }^{2}$ Следуя Пенлеве (Journal de Math. (4), т. 10, 1894), семейство траекторий с одним и тем же значением постоянной энергии называют иногда натуральным семейством.

где величина $\delta p$ всегда положительна и означает отрезок внешней нормали к контуру $C$, отсекаемый контуром $C^{\prime}$, а $\gamma$ – угол наклона этой нормали относительно оси $x$. Тогда, если обозначим через $I$ значение интеграла
\[
\int\{h-V(x, y)\}^{\frac{1}{2}}\left\{(d x)^{2}+(d y)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

распространенного по контуру $C$, а через $I+\delta I$ – значение, которое получит этот интеграл, если его распространить на контур $C^{\prime}$ (приращение $\delta$ отвечает, следовательно, переходу от контрра $C$ к контуру $C^{\prime}$ ), то будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\delta I & =\int\left\{(d x)^{2}+(d y)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}} \delta\{h-V(x, y)\}^{\frac{1}{2}}+ \\
& +\int\{h-V(x, y)\}^{\frac{1}{2}} \delta\left\{(d x)^{2}+(d y)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\end{aligned}
\]

Нo
\[
\begin{array}{c}
\delta\{h-V(x, y)\}^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}\{h-V(x, y)\}^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial V}{\partial x} \delta x+\frac{\partial V}{\partial y} \delta y\right)= \\
=-\frac{1}{2}\{h-V(x, y)\}^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial V}{\partial x} \cos \gamma+\frac{\partial V}{\partial y} \sin \gamma\right) \delta p
\end{array}
\]

и
\[
\delta\left\{(d x)^{2}+(d y)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}=\delta p d \gamma=\frac{\delta p}{\rho}\left\{(d x)^{2}+(d y)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

где $\rho$ – радиус кривизны кривой $C$ в точке $(x, y)$.
Поэтому
\[
\delta I=\int \frac{\left\{(d x)^{2}+(d y)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}}{\{h-V(x, y)\}^{\frac{1}{2}}}\left\{\frac{h-V(x, y)}{\rho}-\frac{1}{2} \cos \gamma \frac{\partial V}{\partial x}-\frac{1}{2} \sin \gamma \frac{\partial V}{\partial y}\right\} \delta p .
\]

Это равенство показывает, что если во всех точках контура $C$ величина
\[
\frac{h-V}{\rho}-\frac{1}{2}\left(\cos \gamma \frac{\partial V}{\partial x}+\sin \gamma \frac{\partial V}{\partial y}\right)
\]

принимает только отрицательные значения, то $\delta I$ будет отрицательно, и, следовательно, интеграл $I$ уменьшится, если за контур интегрирования принять вместо $C$ какой-нибудь другой контур, объемлющий $C$ и достаточно близко к нему расположенный.

Допустим, что существует другой простой замкнутый контур $D$, объемлющий контур $C$ и обладающий тем свойством, что во всех его точках выражение
\[
\frac{h-V}{\rho}-\frac{1}{2}\left(\cos \gamma \frac{\partial V}{\partial x}+\sin \gamma \frac{\partial V}{\partial y}\right)
\]

принимает только положительные значения. Тогда аналогичным образом можно показать, что интеграл $I$ уменьшится, если за контур интегрирования вместо $D$ принять какой-нибудь другой контур, объемлемый контуром $D$ и достаточно близко к нему расположенный.

Предполагая, что внутри кольцевой области, ограниченной контурами $C$ и $D$, не содержится ни одной особой точки функции $V$, рассмотрим совокупность всевозможных простых замкнутых кривых, расположенных внутри этой области. Среди кривых рассматриваемой совокупности должна существовать по крайней мере одна кривая $K$ такая, что, будучи принята за контур интегрирования, она дает наименьшее значение интегралу $I$ по сравнению со всеми остальными кривыми совокупности. Эта кривая $K$ не может, очевидно, ни полностью, ни частично совпадать с кривой $C$ или $D$. Следовательно, все простые замкнутые кривые, расположенные достаточно близко от $K$, также принадлежат рассматриваемой совокупности. Поэтому контур $K$ дает стационарное значение интегралу $I$ и является, следовательно, траекторией динамической системы. Мы приходим, таким образом, к следующей теореме:

Если кольцевая область в плоскости ограничена двумя замкнутыми кривыми и выражение
\[
\frac{h-V(x, y)}{\rho}-\frac{1}{2}\left(\cos \gamma \frac{\partial V}{\partial x}+\sin \gamma \frac{\partial V}{\partial y}\right)
\]

отрицательно во всех точках внутренней границы и положительно во всех точках внешней границы, то внутри этой области имеется периодическая траектория динамической системы, соответствующая значению $h$ постоянной энергии. Величина
\[
\frac{h-V(x, y)}{\rho}-\frac{1}{2}\left(\cos \gamma \frac{\partial V}{\partial x}+\sin \gamma \frac{\partial V}{\partial y}\right)
\]

может быть непосредственно вычислена во всех точках кривых $C$ и $D$, так как она зависит только от потенциальной энергии и вида этих кривых. Полученная теорема дает иногда возможность обнаружить существование периодических траекторий.