Предыдущий результат приводит к одной теореме Пуассона ${ }^{1}$, высказанной им в 1809 г. и дающей возможность по двум известным интегралам динамической системы получить новое выражение, остающееся постоянным вдоль всякой траектории и дающее, следовательно (если оно независимо от уже известных двух интегралов), новый интеграл системы.
Пусть двумя известными интегралами будут:
\[
\begin{array}{l}
\varphi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t\right)=\text { const } \\
\psi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t\right)=\text { const. }
\end{array}
\]
Рассмотрим бесконечно малое контактное преобразование с символом $(\psi, f)$. Так как $\psi$ есть интеграл системы, то это преобразование переводит ( $\S 144$ ) одни траектории в другие, бесконечно близкие.
При этом преобразовании функция $\psi$ получает приращение $\varepsilon(\varphi, \psi)$, где $\varepsilon$ – очень малая постоянная величина. Но так как величина $\varphi$ является интегралом, то она сохраняет постоянные значения как на первоначальной, так и на бесконечно близкой траекториях. Следовательно, величина $(\varphi, \psi)$ не должна изменяться в течение всего движения. Мы получаем, таким образом, теорему Пуассона: Если $\varphi$ и суть два интеграла системы, то скобка Пуассона $(\varphi, \psi)$ в течение всего движения остается постоянной.
Если выражение $(\varphi, \psi)$, являющееся функцией переменных $q_{1}$, $q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$ не сводится к постоянной и не может быть выражено как функция от $\varphi$ и $\psi$ или других известных интегралов, то уравнение
\[
(\varphi, \psi)=\text { const }
\]
есть новый интеграл системы ${ }^{1}$.
Следующий пример показывает, как можно применить теорему Пуассона для получении нового интеграла динамической системы, если два таких интеграла уже известны.
Рассмотрим движение свободной материальной точки с массой, равной единице, с прямоугольными координатами $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ и с компонентами скорости $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ под действием центральной силы с центром в начале координат.
Интегралы моментов количества движения относительно двух осей имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
p_{3} q_{2}-q_{3} p_{2}=\text { const }, \\
p_{1} q_{3}-q_{1} p_{3}=\text { const. }
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Journal de l’Ecole polyt., т. 8, стр. 266, 1809.
${ }^{1}$ Эту теорему разбирает Бертран в примечании VII к третьему изданию «Мес. Annal.» Лагранжа (1853); см. также Lagrange, Oeuvres, т. II, стр. 484. Относительно обобщения теоремы Пуассона на неголономные системы см. Dautheville, Bull. de la Soc. math. de France, т. 37, стр. 120, 1909.
Мы их рассматриваем как два известных интеграла $\varphi$ и $\psi$; тогда скобка Пуассона будет равна:
\[
(\varphi, \psi)=\sum_{r=1}^{3}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{r}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{r}}-\frac{\partial \psi}{\partial q_{r}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}}\right)=p_{2} q_{1}-q_{2} p_{1} .
\]
И действительно, уравнение
\[
p_{2} q_{1}-q_{2} p_{1}=\mathrm{const}
\]
есть новый интеграл системы, а именно интеграл момента количества движения относительно третьей оси.
