В следующем параграфе нам придется пользоваться теорией матриц. Поэтому является целесообразным изложить предварительно некоторые основные понятия, относящиеся к этому вопросу.
Рассмотрим квадратную таблицу
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|.$$

образованную действительными или комплексными числами $a_{pq}$, которые мы будем называть элементами. Эта таблица называется матрицей и обозначается либо одной буквой $A$, либо символом $\left(a_{pq}\right)$. Ее следует мыслить как выражение некоторой операции, а именно операции линейной подстановки:
$$\begin{array}{c}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n,\\ y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ y_n=a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n.\end{array}$$

Однако основная идея теории матриц заключается в том, что их рассматривают как числа в самом общем смысле этого слова, так что матрицы складываются, умножаются и т. д. Две матрицы $A\equiv \left(a_{pq}\right)$ и $B\equiv \left(b_{pq}\right)$ называются равными, если элементы одной матрицы равны соответственно элементам другой, т. е. $a_{pq}=b_{pq}$ при $p,q=1,2,\dots ,n$.

Произведением $BA$ двух матриц $B\equiv \left(b_{pq}\right)$ и $A\equiv \left(a_{pq}\right)$ называется матрица, у которой элемент $p$-й строки и $q$-й вертикали равен:
$$b_{p1}{a}_{1q}+b_{p2}{a}_{2q}+\cdots +b_{pn}{a}_{nq}.$$

Умножение матриц в общем случае не подчиняется закону коммутативности, так что $BA$ и $AB$ будут, вообще говоря, различными матрицами. Но это произведение удовлетворяет закону ассоциативности, т. e.
$$A(BC)=(AB)C.$$

Матрица
$$\left(\begin{array}{lllll}1& 0& 0& 0& \dots \\ 0& 1& 0& 0& \dots \\ 0& 0& 1& 0& \dots \\ \cdots & \cdots & \dots \\ \cdots & \cdots & \dots \end{array}\right)$$

называется единичной и обозначается буквой $E$. Матрица $B$, удовлетворяющая условию $BA=E$, называется обратной $A$ и обозначается символом $A^{-1}$. Матрица, получающаяся из $A$ перестановкой колонок и строк, называется сопряженной с $A$ и обозначается через $A^{\prime }$.
Корни детерминантного уравнения
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}-r& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-r& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}-r\end{array}\right|=0$$

называются собственными значенияли матрицы $A\equiv \left(a_{pq}\right)$. Одной из основных теорем теории матриц является теорема Сильвестера: Ecли $r_1,r_2,\dots ,r_n$ суть собственные значения матрицы $A$, то собственными значениями матрицы $f(A)$, где $f(A)$ — некоторая функция от $A$, будут величины $f\left(r_1\right),f\left(r_2\right),\dots ,f\left(r_n\right)$. В частности, собственные значения матрицы $A^{-1}$ суть величины, обратные собственным значениям матрицы $A$.

Если $A$ и $S$ суть две матрицы, то матрица $SA{S}^{-1}$ будет иметь те же собственные значения, что и матрица $A$.
(Следует иметь в виду, что вышеназванные теоремы изложены в их общей формулировке без учета исключительных случаев.)