В следующем параграфе нам придется пользоваться теорией матриц. Поэтому является целесообразным изложить предварительно некоторые основные понятия, относящиеся к этому вопросу.
Рассмотрим квадратную таблицу
\[
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right| .
\]

образованную действительными или комплексными числами $a_{p q}$, которые мы будем называть элементами. Эта таблица называется матрицей и обозначается либо одной буквой $A$, либо символом $\left(a_{p q}\right)$. Ее следует мыслить как выражение некоторой операции, а именно операции линейной подстановки:
\[
\begin{array}{c}
y_{1}=a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}, \\
y_{2}=a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
y_{n}=a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n} .
\end{array}
\]

Однако основная идея теории матриц заключается в том, что их рассматривают как числа в самом общем смысле этого слова, так что матрицы складываются, умножаются и т. д. Две матрицы $A \equiv\left(a_{p q}\right)$ и $B \equiv\left(b_{p q}\right)$ называются равными, если элементы одной матрицы равны соответственно элементам другой, т. е. $a_{p q}=b_{p q}$ при $p, q=1,2, \ldots, n$.

Произведением $B A$ двух матриц $B \equiv\left(b_{p q}\right)$ и $A \equiv\left(a_{p q}\right)$ называется матрица, у которой элемент $p$-й строки и $q$-й вертикали равен:
\[
b_{p 1} a_{1 q}+b_{p 2} a_{2 q}+\cdots+b_{p n} a_{n q} .
\]

Умножение матриц в общем случае не подчиняется закону коммутативности, так что $B A$ и $A B$ будут, вообще говоря, различными матрицами. Но это произведение удовлетворяет закону ассоциативности, т. e.
\[
A(B C)=(A B) C .
\]

Матрица
\[
\left(\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\
0 & 1 & 0 & 0 & \ldots \\
0 & 0 & 1 & 0 & \ldots \\
\cdots & \cdots & \ldots \\
\cdots & \cdots & \ldots
\end{array}\right)
\]

называется единичной и обозначается буквой $E$. Матрица $B$, удовлетворяющая условию $B A=E$, называется обратной $A$ и обозначается символом $A^{-1}$. Матрица, получающаяся из $A$ перестановкой колонок и строк, называется сопряженной с $A$ и обозначается через $A^{\prime}$.
Корни детерминантного уравнения
\[
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11}-r & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22}-r & \ldots & a_{2 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}-r
\end{array}\right|=0
\]

называются собственными значенияли матрицы $A \equiv\left(a_{p q}\right)$. Одной из основных теорем теории матриц является теорема Сильвестера: Ecли $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}$ суть собственные значения матрицы $A$, то собственными значениями матрицы $f(A)$, где $f(A)$ – некоторая функция от $A$, будут величины $f\left(r_{1}\right), f\left(r_{2}\right), \ldots, f\left(r_{n}\right)$. В частности, собственные значения матрицы $A^{-1}$ суть величины, обратные собственным значениям матрицы $A$.

Если $A$ и $S$ суть две матрицы, то матрица $S A S^{-1}$ будет иметь те же собственные значения, что и матрица $A$.
(Следует иметь в виду, что вышеназванные теоремы изложены в их общей формулировке без учета исключительных случаев.)